Berlin Abitur Math LK flashcards

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Kettenregel

Ableitung einer verketteten Funktion: [u(v(x))]' = u'(v(x))·v'(x). Die innere Ableitung v'(x) wird mit der äußeren Ableitung, ausgewertet an v(x), multipliziert.

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Das bestimmte Integral einer stetigen Funktion f über [a;b] ist F(b) − F(a), wobei F eine beliebige Stammfunktion von f ist. Damit wird Flächenberechnung auf Stammfunktionen zurückgeführt.

Notwendige Bedingung Extremstelle

An einer differenzierbaren Extremstelle x₀ gilt f'(x₀) = 0. Die Bedingung ist notwendig, aber nicht hinreichend, da auch Sattelstellen diese Gleichung erfüllen.

Hinreichende Bedingung Hochpunkt

Ist f'(x₀) = 0 und f''(x₀) < 0, so hat f an der Stelle x₀ ein lokales Maximum. Der Graph ist dort rechtsgekrümmt, die Steigung wechselt von positiv zu negativ.

Wendepunkt

Stelle mit Krümmungswechsel: f''(x₀) = 0 und f'''(x₀) ≠ 0. Das Vorzeichen von f'' ändert sich dort, der Graph wechselt zwischen Links- und Rechtskrümmung.

Tangentengleichung

Tangente an den Graphen von f im Punkt (x₀|f(x₀)): y = f'(x₀)·(x − x₀) + f(x₀). Die Ableitung liefert die Steigung, der Berührpunkt den Achsenabschnitt.

Normale

Gerade senkrecht zur Tangente im Berührpunkt: y = −(1/f'(x₀))·(x − x₀) + f(x₀), sofern f'(x₀) ≠ 0. Bei waagerechter Tangente existiert keine Normale als Funktion.

Produktregel

Ableitung eines Produkts zweier differenzierbarer Funktionen: (u·v)' = u'·v + u·v'. Jeder Faktor wird einmal abgeleitet und mit dem unveränderten anderen Faktor multipliziert.

Partielle Integration

Umkehrung der Produktregel: ∫u·v' dx = u·v − ∫u'·v dx. Sie eignet sich, wenn der Integrand ein Produkt aus Polynom und Exponential-, Logarithmus- oder Winkelfunktion ist.

Exponentielles Wachstum

Modell f(t) = a·e^(k·t) mit Anfangswert a und Wachstumskonstante k. Bei k > 0 wächst der Bestand, bei k < 0 zerfällt er; die Verdopplungszeit beträgt ln(2)/k.

Beschränktes Wachstum

Modell f(t) = S − (S − f(0))·e^(−k·t) mit Schranke S und k > 0. Der Bestand nähert sich für t → ∞ asymptotisch an S an, die Änderungsrate ist proportional zur Restdifferenz.

Fläche zwischen zwei Graphen

Für Schnittstellen a und b gilt A = ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx. Liegt f oberhalb von g, entfällt der Betrag; weitere Schnittstellen zerlegen das Intervall in Teilflächen.

Skalarprodukt

a⃗·b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ ergibt eine reelle Zahl. Es gilt a⃗·b⃗ = |a⃗|·|b⃗|·cos φ, wobei φ der eingeschlossene Winkel der beiden Vektoren ist.

Orthogonalität von Vektoren

Zwei Vektoren stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt null ist: a⃗ ⊥ b⃗ ⇔ a⃗·b⃗ = 0. Dies gilt auch, wenn einer der Vektoren der Nullvektor ist.

Kreuzprodukt

Das Vektorprodukt a⃗×b⃗ steht senkrecht auf a⃗ und b⃗. Sein Betrag entspricht dem Flächeninhalt des von a⃗ und b⃗ aufgespannten Parallelogramms und liefert damit einen Normalenvektor.

Parameterform der Geraden

g: x⃗ = a⃗ + t·u⃗ mit Stützvektor a⃗ und Richtungsvektor u⃗ ≠ 0⃗. Der Parameter t durchläuft alle reellen Zahlen und erzeugt so alle Punkte der Geraden.

Normalenform der Ebene

n⃗·(x⃗ − a⃗) = 0 beschreibt alle Punkte x⃗, deren Verbindungsvektor zu a⃗ senkrecht auf dem Normalenvektor n⃗ steht. Ausmultipliziert ergibt sich die Koordinatenform.

Koordinatenform der Ebene

n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = d mit Normalenvektor n⃗ = (n₁;n₂;n₃). Der Vektor n⃗ ist orthogonal zur Ebene, d entsteht durch Einsetzen eines Ebenenpunkts.

Abstand Punkt–Ebene

Für die Ebene n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = d₀ und den Punkt P(p₁|p₂|p₃) gilt: Abstand = |n₁p₁ + n₂p₂ + n₃p₃ − d₀| / |n⃗|. Der Betrag macht das Ergebnis nichtnegativ.

Hesse-Normalenform

(n⃗/|n⃗|)·(x⃗ − a⃗) = 0 nutzt den normierten Normalenvektor. Einsetzen eines Punktes ergibt direkt den vorzeichenbehafteten Abstand zur Ebene; das Vorzeichen zeigt die Halbraumseite.

Schnittwinkel Gerade–Ebene

Für Richtungsvektor u⃗ der Geraden und Normalenvektor n⃗ der Ebene gilt sin φ = |u⃗·n⃗|/(|u⃗|·|n⃗|). Der Winkel φ liegt zwischen 0° und 90°, da Beträge verwendet werden.

Lagebeziehung Gerade–Ebene

Ist u⃗·n⃗ ≠ 0, schneidet die Gerade die Ebene in genau einem Punkt. Bei u⃗·n⃗ = 0 ist sie parallel oder liegt ganz in der Ebene, je nach Stützvektor.

Rang und Lösbarkeit

Ein lineares Gleichungssystem ist eindeutig lösbar, wenn Rang(A) = Rang(A|b⃗) = Anzahl der Unbekannten. Bei Rang(A) = Rang(A|b⃗) < Anzahl Unbekannter gibt es unendlich viele Lösungen.

Matrixmultiplikation

Das Produkt A·B ist nur definiert, wenn die Spaltenzahl von A gleich der Zeilenzahl von B ist. Die Multiplikation ist im Allgemeinen nicht kommutativ, also A·B ≠ B·A.

Binomialverteilung Formel

P(X = k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k) beschreibt die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer bei n unabhängigen Versuchen mit Trefferwahrscheinlichkeit p. Voraussetzung ist Ziehen mit Zurücklegen.

Erwartungswert und Standardabweichung

Für eine binomialverteilte Zufallsgröße gilt μ = n·p und σ = √(n·p·(1−p)). Die Standardabweichung misst die typische Streuung der Trefferzahl um den Erwartungswert.

Sigma-Regeln

Bei hinreichend großer Standardabweichung liegen etwa 68,3 % der Werte in [μ−σ; μ+σ], etwa 95,4 % in [μ−2σ; μ+2σ] und etwa 99,7 % in [μ−3σ; μ+3σ].

Gegenwahrscheinlichkeit

P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k−1) und P(X ≤ k) = 1 − P(X ≥ k+1). Komplementäre Ereignisse erlauben, aufwendige Summen durch einen einzigen Tabellenwert zu ersetzen.

Fehler 1. Art

Der Fehler 1. Art tritt auf, wenn die Nullhypothese H₀ verworfen wird, obwohl sie in Wahrheit gilt. Seine Wahrscheinlichkeit ist durch das Signifikanzniveau α begrenzt.

Fehler 2. Art

Der Fehler 2. Art bedeutet, H₀ beizubehalten, obwohl sie falsch ist. Seine Wahrscheinlichkeit β hängt vom tatsächlichen Parameterwert ab und sinkt bei größerem Stichprobenumfang.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

P(A|B) = P(A∩B)/P(B) für P(B) > 0 gibt die Wahrscheinlichkeit von A an, wenn bekannt ist, dass B eingetreten ist. Im Baumdiagramm entspricht dies der Wahrscheinlichkeit auf der zweiten Stufe.

Stochastische Unabhängigkeit

Zwei Ereignisse A und B sind unabhängig, wenn P(A∩B) = P(A)·P(B) gilt. Äquivalent dazu ist P(A|B) = P(A) für P(B) > 0, das Eintreten von B ändert dann nichts.