Gewinnmaximierung mit Randprüfung und Umweltabgabe
Ein Betrieb kann täglich zwischen 0 und 40 Einheiten eines Produkts herstellen. Die Gesamtkosten (in Euro) werden durch K(x) = 0,02x³ − 0,6x² + 8x + 20 modelliert, der Erlös durch E(x) = 12x. Der Gewinn ist G(x) = E(x) − K(x); die Fixkosten betragen 20 €. In einer Planungssitzung behauptet eine Person, das Gewinnmaximum liege bei x = 20, weil dort angeblich G′(x) = 0 gilt. Eine andere Person will wegen möglicher Randextrema nur x = 0 und x = 40 vergleichen. Zusätzlich ist zu prüfen, ob bei x = 30 noch ein positiver Deckungsbeitrag erzielt wird, und wie sich eine Umweltabgabe von 1,50 € pro Einheit auf die gewinnmaximale Menge auswirkt. Die Geschäftsführung erwartet eine begründete Empfehlung, die auch die Grenzen des Modells anspricht.
1. Bestimmen Sie die gewinnmaximale Produktionsmenge im Intervall [0; 40] und begründen Sie, warum die Bedingung G′(x) = 0 allein nicht ausreicht.
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Zuerst G(x) = 12x − (0,02x³ − 0,6x² + 8x + 20) = −0,02x³ + 0,6x² + 4x − 20. Dann G′(x) = −0,06x² + 1,2x + 4. Die Behauptung G′(20) = 0 ist falsch, denn G′(20) = −0,06·400 + 1,2·20 + 4 = −24 + 24 + 4 = 4. Nullsetzen liefert −0,06x² + 1,2x + 4 = 0, also x² − 20x − 66,667 = 0 und x = (20 ± √(400 + 266,667))/2 = (20 ± 25,820)/2. Die positive Lösung ist x ≈ 22,91. Wegen G″(x) = −0,12x + 1,2 ist G″(22,91) ≈ −1,55 < 0, also liegt dort ein lokales Maximum. Weil G auf [0; 40] stetig ist, müssen die Ränder geprüft werden: G(0) = −20, G(40) = −180, G(22,91) ≈ 146,0. Das globale Maximum liegt daher bei etwa 22,91 Einheiten. G′(x) = 0 allein reicht nicht, weil auch ein Randmaximum möglich ist und eine Nullstelle der Ableitung ein Minimum sein kann; erst Randvergleich und zweite Ableitung sichern die Aussage.
2. Prüfen Sie, ob bei x = 30 noch ein positiver Deckungsbeitrag erzielt wird, und vergleichen Sie dies mit dem Gewinnmaximum. Erklären Sie den Unterschied.
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Der Deckungsbeitrag ist DB(x) = E(x) − variable Kosten. Die variablen Kosten sind K(x) − 20 = 0,02x³ − 0,6x² + 8x. Also gilt DB(x) = 12x − (0,02x³ − 0,6x² + 8x) = 4x − 0,02x³ + 0,6x². Bei x = 30 folgt DB(30) = 120 − 540 + 540 = 120 € > 0. Der Gewinn ist G(30) = DB(30) − 20 = 100 €. Beim Gewinnmaximum x ≈ 22,91 ist DB ≈ 166,0 € und G ≈ 146,0 €. Bei x = 30 wird also noch ein positiver Deckungsbeitrag erzielt, aber nicht der maximale Gewinn. Der Unterschied liegt in den Fixkosten: Sie fallen unabhängig von x an und verändern die Lage des Gewinnmaximums nicht. Ein positiver Deckungsbeitrag zeigt nur, dass die variablen Kosten gedeckt sind und ein Beitrag zu den Fixkosten entsteht; er bedeutet nicht automatisch Gewinnmaximum.
3. Wie wirkt eine Umweltabgabe von 1,50 € pro Einheit auf die gewinnmaximale Menge? Begründen Sie ohne vollständige Rechnung und geben Sie die neue Menge näherungsweise an.
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Die Abgabe erhöht die variablen Stückkosten um 1,50 €, also wird der Gewinn zu G_a(x) = G(x) − 1,5x. Damit ist G_a′(x) = G′(x) − 1,5. Die neue Bedingung lautet −0,06x² + 1,2x + 4 − 1,5 = 0, also −0,06x² + 1,2x + 2,5 = 0. Multiplikation mit −1 und Division durch 0,06 ergibt x² − 20x − 41,667 = 0, also x = (20 + √(400 + 166,667))/2 = (20 + 23,805)/2 ≈ 21,90. Die gewinnmaximale Menge sinkt damit von etwa 22,91 auf etwa 21,90 Einheiten. Anschaulich wirkt die Abgabe wie eine Erhöhung der Grenzkosten: Produktion lohnt sich erst wieder, wenn der zusätzliche Erlös die zusätzlichen Grenzkosten deckt. Die Fixkosten bleiben unberührt.