Drohnenbahn, Glasfassade und kugelförmiger Sicherheitsbereich
Eine Vermessungsdrohne fliegt geradlinig. Ihre Position wird für t ∈ [0; 10] (in Minuten) durch x(t) = (4; −1; 6) + t·(−1; 2; −2) beschrieben; die Koordinaten sind in 100 m angegeben. Eine Ebene E: 2x − y + 2z = 8 beschreibt eine Glasfassade. Die Flugleitung behauptet, die Drohne durchstoße diese Fassade innerhalb des Zeitfensters. Außerdem steht ein Sendemast im Punkt M(2; 3; 4); um ihn ist ein kugelförmiger Sicherheitsbereich mit Radius 1,5 (also 150 m) definiert. Die Flugleitung behauptet weiter, der Abstand der Drohne zum Mast werde nie kleiner als 2 (200 m). Ein Techniker bezweifelt beide Aussagen und möchte zusätzlich wissen, wie lange die Drohne gegebenenfalls in den Sicherheitsbereich eindringt. Für die Freigabe ist eine nachvollziehbare geometrische Prüfung nötig, nicht nur eine Plausibilitätsaussage.
1. Zeigen Sie, dass die Drohne die Ebene E durchstößt, und geben Sie den Durchstoßpunkt an. Prüfen Sie, ob der Durchstoß im Zeitintervall t ∈ [0; 10] liegt.
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Einsetzen der Geraden in E ergibt 2(4 − t) − (−1 + 2t) + 2(6 − 2t) = 8. Die linke Seite ist 8 − 2t + 1 − 2t + 12 − 4t = 21 − 8t. Aus 21 − 8t = 8 folgt 8t = 13, also t = 13/8 = 1,625. Wegen 0 ≤ 1,625 ≤ 10 liegt der Durchstoß im Zeitfenster. Der Punkt ist x(1,625) = (4 − 1,625; −1 + 3,25; 6 − 3,25) = (2,375; 2,25; 2,75). Die Drohne durchstößt die Fassade also im Punkt (2,375 | 2,25 | 2,75), in 100-m-Koordinaten.
2. Untersuchen Sie die Behauptung, der Abstand zum Mast werde nie kleiner als 2 (200 m). Bestimmen Sie dazu den minimalen Abstand der Flugbahn zum Punkt M(2; 3; 4).
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Der Richtungsvektor der Geraden ist d = (−1; 2; −2) mit |d| = 3. Der Vektor von P(0) = (4; −1; 6) zu M ist w = M − P(0) = (−2; 4; −2). Der Lotfußpunkt liegt bei t* = (w·d)/|d|² = ((−2)(−1) + 4·2 + (−2)(−2))/9 = (2 + 8 + 4)/9 = 14/9 ≈ 1,556. Der Lotfußpunkt ist P(t*) = (4 − 14/9; −1 + 28/9; 6 − 28/9) = (22/9; 19/9; 26/9) ≈ (2,444; 2,111; 2,889). Der Abstand ist |M − P(t*)| = |(−4/9; 8/9; 10/9)| = √(16 + 64 + 100)/9 = √180/9 = 2√5/3 ≈ 1,491. Alternativ liefert die Kreuzproduktformel |w × d|/|d| = √20/3 ≈ 1,491. Der minimale Abstand ist also etwa 1,49 (149 m) und damit kleiner als 2 (200 m). Die Behauptung der Flugleitung ist falsch.
3. Beurteilen Sie, ob die Drohne den Sicherheitsbereich um den Mast durchfliegt, und bestimmen Sie näherungsweise die Eindringdauer. Nutzen Sie den Radius 1,5.
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Der Sicherheitsbereich ist eine Kugel um M mit Radius r = 1,5. Der minimale Abstand der Geraden zu M ist etwa 1,491 < 1,5. Also schneidet die Gerade die Kugel in zwei Punkten; die Drohne fliegt durch den Bereich und nicht nur tangential daran vorbei. Tangential wäre der Fall Abstand = r. Zur Eindringdauer: |P(t) − M|² = 2,25 mit P(t) − M = (2 − t; −4 + 2t; 2 − 2t). Das Quadrat ist (2 − t)² + (−4 + 2t)² + (2 − 2t)² = 9t² − 28t + 24. Die Gleichung 9t² − 28t + 24 = 2,25 führt zu 36t² − 112t + 87 = 0. Die Diskriminante ist 112² − 4·36·87 = 12544 − 12528 = 16, also t = (112 ± 4)/72. Damit ist t₁ = 108/72 = 1,5 und t₂ = 116/72 ≈ 1,611. Die Drohne ist etwa 0,111 Minuten, also rund 6,7 Sekunden, im Sicherheitsbereich. Beide Zeiten liegen in [0; 10].