Produktionsgleichung mit Parameter: Eindeutigkeit und Zulässigkeit
Ein Betrieb fertigt drei Bauteiltypen A, B und C. Für einen Auftrag stehen drei Ressourcen zur Verfügung; die Mengen x, y und z (in 100 Stück) müssen ein lineares Gleichungssystem erfüllen: x + y + z = 6, 2x + 3y + 4z = 20 und x + a·y + z = 8. Dabei ist a ein technischer Koeffizient, der von der Maschineneinstellung abhängt und zunächst nicht festgelegt ist. Ein Planer behauptet, das System habe für jede Einstellung a genau eine Lösung, weil drei Gleichungen und drei Unbekannte vorliegen. Ein anderer möchte für a = 2 produzieren und die Lösung (1; 2; 3) als „ganzzahlig und damit praktikabel“ bezeichnen. Zusätzlich ist zu klären, ob bei a = 1,5 eine ökonomisch zulässige Lösung mit x, y, z ≥ 0 existiert und wie sich die Nichteindeutigkeit bei a = 1 erklären lässt.
1. Bestimmen Sie, für welche Werte von a das Gleichungssystem genau eine Lösung hat, und interpretieren Sie den Fall a = 1.
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Die Koeffizientenmatrix ist A = [[1, 1, 1], [2, 3, 4], [1, a, 1]]. Ihre Determinante ist det(A) = 1·(3·1 − 4a) − 1·(2·1 − 4·1) + 1·(2a − 3) = (3 − 4a) − (−2) + (2a − 3) = 2 − 2a = 2(1 − a). Für a ≠ 1 ist det(A) ≠ 0, also gibt es genau eine Lösung. Für a = 1 lautet die dritte Gleichung x + y + z = 8, die erste aber x + y + z = 6; beide können nicht gleichzeitig gelten. Das System ist dann unlösbar, nicht nur mehrdeutig. Ökonomisch bedeutet das: Bei dieser Einstellung sind die Ressourcenanforderungen widersprüchlich; es gibt keinen Produktionsplan, der alle drei Bedingungen erfüllt.
2. Für a = 2 ist (1; 2; 3) eine Lösung. Ein Kollege behauptet, wegen dieser ganzzahligen Lösung sei auch für a = 1,5 eine ganzzahlige Lösung zu erwarten. Bestimmen Sie die Lösung für a = 1,5 und beurteilen Sie die Behauptung.
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Für a = 1,5 lauten die Gleichungen x + y + z = 6, 2x + 3y + 4z = 20 und x + 1,5y + z = 8. Subtrahiert man die erste von der dritten, folgt 0,5y = 2, also y = 4. Dann ist x + z = 2. In die zweite Gleichung eingesetzt: 2x + 12 + 4z = 20, also 2x + 4z = 8 und x + 2z = 4. Mit x + z = 2 folgt z = 2 und x = 0. Die Lösung ist (0; 4; 2), also tatsächlich ganzzahlig. Die Behauptung trifft hier zufällig zu, ist aber kein Allgemeinargument: Eine ganzzahlige Lösung bei a = 2 erzwingt keine ganzzahlige Lösung bei anderen a. Für a = 1,3 etwa ergibt die allgemeine Lösung x = (2a − 3)/(a − 1) = −1,333, y = 2/(a − 1) ≈ 6,667 und z = (4a − 5)/(a − 1) ≈ 0,667; diese Werte sind nicht ganzzahlig.
3. Untersuchen Sie für a = 1,5, ob die Lösung ökonomisch zulässig ist, und geben Sie einen Bereich für a an, in dem das System eindeutig lösbar, aber die Lösung nicht nichtnegativ ist.
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Bei a = 1,5 ist die Lösung (0; 4; 2). Alle Werte sind ≥ 0; x = 0 bedeutet, dass Bauteil A nicht gefertigt wird. Das ist zulässig, wenn keine Mindestmenge für A gefordert ist; ansonsten wäre die Lösung ökonomisch unbrauchbar. Allgemein gilt für a ≠ 1: x = (2a − 3)/(a − 1), y = 2/(a − 1) und z = (4a − 5)/(a − 1). Für 1 < a < 1,5 ist der Nenner positiv, aber der Zähler von x ist negativ, denn 2a − 3 < 0. Also ist x < 0. Beispiel a = 1,2: x = −3, y = 10, z = −1. Das System ist dann eindeutig lösbar, aber die Lösung verletzt x, z ≥ 0 und ist damit nicht produzierbar. Für a < 1 ist y < 0; für a > 1,5 sind alle drei Zähler positiv. Der gesuchte Bereich ist daher 1 < a < 1,5.