Signifikanztest bei Chip-Ausschuss: gerichtet, robust und Fehler 2. Art
Ein Hersteller behauptet, höchstens 3 % der produzierten Chips seien defekt. Ein Händler vermutet eine höhere Ausschussquote und lässt 500 Chips prüfen; dabei sind 23 defekt. Er plant einen rechtsseitigen Signifikanztest auf dem Niveau α = 0,05. Die Anzahl X der defekten Chips wird unter der Nullhypothese als binomialverteilt mit n = 500 und p = 0,03 modelliert; wegen np₀ = 15 und n(1 − p₀) = 485 wird die Normalapproximation mit Stetigkeitskorrektur verwendet. Ein Mitarbeiter fordert einen zweiseitigen Test, weil man „immer beide Richtungen“ prüfen müsse. Eine andere Person möchte α = 0,01 verwenden, um die Entscheidung abzusichern. Zusätzlich soll die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers zweiter Art für die tatsächliche Ausschussquote p = 0,06 diskutiert werden. Der Händler will eine klare Entscheidung mit Begründung, keine reine Formelwiedergabe.
1. Formulieren Sie die Hypothesen für die Vermutung des Händlers und bestimmen Sie mit Normalapproximation die Entscheidungsregel für α = 0,05. Interpretieren Sie das Ergebnis für X = 23.
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Die Nullhypothese ist H₀: p ≤ 0,03 (Herstelleraussage), die Alternative H₁: p > 0,03 (Händler vermutet eine höhere Quote). Es ist ein rechtsseitiger Test. Unter H₀ mit p₀ = 0,03 gilt μ = 500·0,03 = 15 und σ = √(500·0,03·0,97) = √14,55 ≈ 3,814. Der kritische Wert ist μ + z₀,₉₅·σ = 15 + 1,645·3,814 ≈ 21,27. Mit Stetigkeitskorrektur wird die Ablehnungsregion durch X ≥ 22 beschrieben. Bei X = 23 wird H₀ also abgelehnt. Der p-Wert ist näherungsweise P(X ≥ 23 | p = 0,03) ≈ 1 − Φ((22,5 − 15)/3,814) = 1 − Φ(1,966) ≈ 0,0247, also kleiner als 0,05. Ohne Stetigkeitskorrektur wäre er etwa 0,018; beide Varianten führen zur Ablehnung. Der Händler hat damit signifikante Evidenz für eine Ausschussquote über 3 %.
2. Ein Kollege fordert einen zweiseitigen Test. Erläutern Sie, warum das hier nicht zur Vermutung passt, und diskutieren Sie die Folge für die Entscheidung bei X = 23.
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Die Vermutung des Händlers ist gerichtet: Er will nur wissen, ob die Quote höher als 3 % ist. Ein zweiseitiger Test würde auch eine unerwartet niedrige Quote als Evidenz gegen H₀ werten, obwohl das die Händlervermutung nicht stützt. Bei einem zweiseitigen Test auf α = 0,05 wären die kritischen Grenzen näherungsweise μ ± 1,96σ, also 15 ± 7,48, das heißt etwa [7,52; 22,48]. Mit X = 23 läge man knapp außerhalb und würde H₀ ablehnen; der p-Wert wäre etwa 2·0,018 = 0,036 ohne Stetigkeitskorrektur bzw. 2·0,025 = 0,049 mit Stetigkeitskorrektur und damit gerade noch unter 0,05. Die Entscheidung wäre also weniger robust. Wichtiger: Der zweiseitige Test beantwortet eine andere Frage und hat bei gleichem α weniger Power für die gerichtete Alternative.
3. Berechnen Sie näherungsweise die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers zweiter Art für p = 0,06 bei α = 0,05 und vergleichen Sie mit α = 0,01. Beurteilen Sie, welches Niveau der Händler wählen sollte.
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Der Fehler zweiter Art bedeutet, H₀ nicht abzulehnen, obwohl p = 0,06 gilt. Bei α = 0,05 ist die Ablehnungsregion X ≥ 22, also β = P(X ≤ 21 | p = 0,06). Mit μ = 500·0,06 = 30 und σ = √(500·0,06·0,94) = √28,2 ≈ 5,311 folgt mit Stetigkeitskorrektur z = (21,5 − 30)/5,311 ≈ −1,600 und β ≈ Φ(−1,600) ≈ 0,0548. Bei α = 0,01 ist der kritische Wert 15 + 2,326·3,814 ≈ 23,87, also wird erst ab X ≥ 24 abgelehnt. Dann ist β = P(X ≤ 23 | p = 0,06); mit Stetigkeitskorrektur z = (23,5 − 30)/5,311 ≈ −1,224 und β ≈ 0,110. Ein kleineres α senkt die Wahrscheinlichkeit, eine wahre Herstelleraussage fälschlich zu verwerfen (Typ-I-Fehler), erhöht aber die Wahrscheinlichkeit, eine zu hohe Quote zu übersehen (Typ-II-Fehler). Da X = 23 bei α = 0,05, aber nicht bei α = 0,01 signifikant ist, sollte der Händler α = 0,05 wählen, wenn das Risiko einer Fehlentscheidung gegen den Hersteller vertretbar ist; andernfalls müsste er den Stichprobenumfang erhöhen.