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Berlin Abitur Math LK practice questions

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First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

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Question 1Analysis

Gegeben ist f(x) = x³ − 3x. An welcher Stelle x₀ besitzt der Graph von f eine waagerechte Tangente, die zu einem lokalen Minimum gehört?

  1. x₀ = −1
  2. x₀ = 0
  3. x₀ = 3
  4. x₀ = 1 Correct answer.

Explanation

Es gilt f′(x) = 3x² − 3, also f′(x) = 0 genau für x = ±1. Die zweite Ableitung f″(x) = 6x ist bei x = 1 positiv, dort liegt daher ein lokales Minimum vor; bei x = −1 ist f″ negativ, also ein lokales Maximum.

Question 2Analysis

Die Funktion f mit f(x) = e^(2x) ist gegeben. Welche Aussage über die Ableitung f′ ist richtig?

  1. f′(x) = e^(2x)
  2. f′(x) = e^(2x)·x
  3. f′(x) = 2x·e^(2x)
  4. f′(x) = 2·e^(2x) Correct answer.

Explanation

Nach der Kettenregel ist die äußere Ableitung die Exponentialfunktion selbst, multipliziert mit der inneren Ableitung 2. Daher gilt f′(x) = 2·e^(2x); der Faktor 2 ist konstant und darf nicht mit der Variablen x verwechselt werden.

Question 3Analysis

Für eine ganzrationale Funktion f gilt lim(x→∞) f(x) = −∞ und lim(x→−∞) f(x) = −∞. Welche Aussage über den Grad n von f ist zwingend richtig?

  1. n = 3
  2. n ist beliebig, wenn der Leitkoeffizient negativ ist
  3. n ist gerade Correct answer.
  4. n ist ungerade

Explanation

Das Verhalten für x → ±∞ wird vom Leitterm aₙxⁿ bestimmt. Gleiche Grenzwerte auf beiden Seiten treten nur bei geradem Grad auf, denn bei ungeradem Grad haben die beiden Grenzwerte entgegengesetzte Vorzeichen. Der negative Grenzwert beider Seiten zeigt zusätzlich aₙ < 0.

Question 4Analysis

Gegeben ist f(x) = x²·e^(−x) für x ∈ ℝ. An welcher Stelle liegt das lokale Maximum von f?

  1. x = 0
  2. x = −2
  3. x = 1
  4. x = 2 Correct answer.

Explanation

Mit der Produktregel erhält man f′(x) = 2x·e^(−x) − x²·e^(−x) = x(2 − x)·e^(−x). Nullstellen der Ableitung sind x = 0 und x = 2; da f bei x = 0 ein Minimum besitzt, ist x = 2 die Stelle des lokalen Maximums.

Question 5Analysis

Die Funktion F mit F(x) = x·ln(x) − x ist für x > 0 definiert. Welche Funktion ist eine Stammfunktion von f(x) = ln(x)?

  1. F(x) = x·ln(x) − x Correct answer.
  2. F(x) = x·ln(x) + x
  3. F(x) = 1/x
  4. F(x) = x²·ln(x)

Explanation

Differenziert man F(x) = x·ln(x) − x mit der Produktregel, so erhält man F′(x) = ln(x) + 1 − 1 = ln(x). Damit ist F eine Stammfunktion von f, was durch Ableiten unmittelbar bestätigt wird.

Question 6Analysis

Eine Funktion f hat an der Stelle x₀ = 2 eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach −. Welche Aussage über den Graphen von f ist dann korrekt?

  1. Der Graph schneidet die x-Achse bei x = 2 und wechselt dort von oberhalb nach unterhalb. Correct answer.
  2. Der Graph hat bei x = 2 eine waagerechte Tangente.
  3. Der Graph hat bei x = 2 eine Polstelle.
  4. Der Graph berührt die x-Achse bei x = 2 und hat dort einen Extrempunkt.

Explanation

Ein Vorzeichenwechsel von + nach − bedeutet, dass f links von x₀ positiv und rechts davon negativ ist. Der Graph verläuft also links oberhalb und rechts unterhalb der x-Achse und schneidet sie an dieser Stelle.

Question 7Analysis

Welchen Wert hat das bestimmte Integral ∫₀¹ (3x² + 2x) dx?

  1. 3
  2. 5
  3. 1
  4. 2 Correct answer.

Explanation

Eine Stammfunktion ist x³ + x². Setzt man die Grenzen ein, so ergibt sich (1 + 1) − (0 + 0) = 2. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung liefert damit den Wert 2.

Question 8Analysis

Gegeben ist f(x) = (x² − 4)/(x − 2) für x ≠ 2. Welche Aussage beschreibt das Verhalten an der Stelle x = 2 zutreffend?

  1. Es liegt eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor.
  2. Es liegt eine hebbare Definitionslücke vor, der Grenzwert für x → 2 ist 4. Correct answer.
  3. Es liegt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor.
  4. Es liegt eine stetige Fortsetzung mit Grenzwert 0 vor.

Explanation

Der Zähler lässt sich als (x − 2)(x + 2) faktorisieren, sodass sich der Faktor (x − 2) kürzen lässt. Für x ≠ 2 gilt f(x) = x + 2, und der Grenzwert für x → 2 ist 4. Die Definitionslücke ist damit hebbar.

Question 9Analysis

Eine Funktion f ist auf ℝ definiert und es gilt f″(x) > 0 für alle x. Welche Aussage über f ist dann richtig?

  1. f besitzt mindestens eine Extremstelle.
  2. f ist streng monoton fallend.
  3. Der Graph von f ist überall rechtsgekrümmt.
  4. Der Graph von f ist überall linksgekrümmt. Correct answer.

Explanation

Die zweite Ableitung beschreibt die Krümmung: f″(x) > 0 bedeutet, dass die Steigung mit wachsendem x zunimmt, der Graph also linksgekrümmt (konvex) verläuft. Diese Aussage gilt auf dem gesamten Definitionsbereich.

Question 10Analysis

Berechne die Ableitung von g(x) = sin(3x) an der Stelle x = 0.

  1. g′(0) = 0
  2. g′(0) = 3 Correct answer.
  3. g′(0) = 1
  4. g′(0) = 9

Explanation

Nach der Kettenregel ist g′(x) = 3·cos(3x). An der Stelle x = 0 ergibt sich g′(0) = 3·cos(0) = 3·1 = 3. Der innere Faktor 3 ist entscheidend.

Question 11Analysis

Die Funktion f mit f(x) = x³ − 3x² + 4 besitzt einen Wendepunkt. An welcher Stelle liegt dieser?

  1. x = 1 Correct answer.
  2. x = 0
  3. x = 2
  4. x = 3

Explanation

Es gilt f′(x) = 3x² − 6x und f″(x) = 6x − 6. Die Bedingung f″(x) = 0 liefert x = 1; da f‴(x) = 6 ≠ 0 ist, liegt dort tatsächlich ein Wendepunkt vor.

Question 12Analysis

Für eine Funktion f gilt: f(1) = 2 und f′(1) = −1. Welchen Wert hat die Ableitung der Funktion h(x) = x·f(x) an der Stelle x = 1?

  1. h′(1) = 3
  2. h′(1) = 1 Correct answer.
  3. h′(1) = 2
  4. h′(1) = −1

Explanation

Nach der Produktregel ist h′(x) = f(x) + x·f′(x). Eingesetzt ergibt sich h′(1) = f(1) + 1·f′(1) = 2 − 1 = 1. Beide Terme müssen berücksichtigt werden.

Question 13Analysis

Welche Stammfunktion gehört zu f(x) = 1/x für x > 0?

  1. F(x) = −1/x²
  2. F(x) = e^x
  3. F(x) = ln(x) Correct answer.
  4. F(x) = x·ln(x)

Explanation

Die Ableitung von ln(x) ist 1/x, daher ist F(x) = ln(x) eine Stammfunktion von f(x) = 1/x auf dem Bereich x > 0. Für negative x wäre entsprechend ln|x| zu verwenden.

Question 14Analysis

Die Funktion f mit f(x) = −x² + 4x beschreibt den Querschnitt eines Bogens. Welche maximale Höhe erreicht der Graph?

  1. 4 Correct answer.
  2. 8
  3. 2
  4. 0

Explanation

Die Parabel ist nach unten geöffnet, der Scheitel liegt bei x = −b/(2a) = 4/2 = 2. Setzt man ein, so erhält man f(2) = −4 + 8 = 4, also die maximale Höhe 4.

Question 15Analysis

Gegeben ist die Funktion f(x) = x³ + ax. Bestimme den Parameter a so, dass der Graph an der Stelle x = 1 die Steigung 0 hat.

  1. a = 1
  2. a = 3
  3. a = −1
  4. a = −3 Correct answer.

Explanation

Es gilt f′(x) = 3x² + a. Die Bedingung f′(1) = 0 führt auf 3 + a = 0, also a = −3. Einsetzen bestätigt f′(1) = 3 − 3 = 0.

Question 16Analysis

Welche der folgenden Funktionen hat für x → ∞ den Grenzwert 0?

  1. f(x) = e^(−x) Correct answer.
  2. f(x) = x²
  3. f(x) = ln(x)
  4. f(x) = e^x

Explanation

Für x → ∞ strebt e^(−x) = 1/e^x gegen 0, da e^x über alle Grenzen wächst. Die anderen Funktionen wachsen für x → ∞ unbeschränkt und besitzen keinen endlichen Grenzwert.

Question 17Analysis

Das Integral ∫₀^b x² dx soll den Wert 9 haben. Welcher Wert von b (b > 0) erfüllt diese Bedingung?

  1. b = 9
  2. b = √3
  3. b = 27
  4. b = 3 Correct answer.

Explanation

Eine Stammfunktion von x² ist x³/3. Aus b³/3 = 9 folgt b³ = 27 und damit b = 3. Die Probe ergibt 27/3 = 9.

Question 18Analysis

Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat genau zwei verschiedene Nullstellen. Welche Aussage über die Vielfachheiten dieser Nullstellen ist zwingend richtig?

  1. Eine Nullstelle hat die Vielfachheit 2, die andere die Vielfachheit 1. Correct answer.
  2. Beide Nullstellen haben die Vielfachheit 1.
  3. Beide Nullstellen haben die Vielfachheit 2.
  4. Eine Nullstelle hat die Vielfachheit 3.

Explanation

Die Summe der Vielfachheiten entspricht dem Grad 3. Bei genau zwei verschiedenen Nullstellen müssen sich die Vielfachheiten zu 3 addieren, also 2 und 1. Die Nullstelle mit Vielfachheit 2 ist zugleich eine Extremstelle.

Question 19Analysis

Die Funktion f mit f(x) = ln(x) ist für x > 0 definiert. Welche Aussage über ihr Monotonieverhalten ist richtig?

  1. f ist für 0 < x < e steigend und für x > e fallend.
  2. f ist auf dem gesamten Definitionsbereich streng monoton fallend.
  3. f ist auf dem gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend. Correct answer.
  4. f ist für 0 < x < 1 fallend und für x > 1 steigend.

Explanation

Die Ableitung f′(x) = 1/x ist für alle x > 0 positiv. Damit wächst ln(x) auf dem gesamten Definitionsbereich streng monoton, auch wenn die Steigung für große x immer kleiner wird.

Question 20Analysis

Berechne den Wert des Terms lim(x→0) (sin(x))/x.

  1. −1
  2. 1 Correct answer.
  3. 0
  4. ∞

Explanation

Der Grenzwert lim(x→0) sin(x)/x ist ein Standardgrenzwert und beträgt 1. Anschaulich nähert sich sin(x) für kleine x dem Wert x an, sodass der Quotient gegen 1 strebt; der Ausdruck ist an x = 0 nicht definiert, besitzt dort aber eine hebbare Lücke.

Question 21Analysis

Die Funktion f mit f(x) = x⁴ − 4x² besitzt mehrere Extremstellen. Welche Aussage über die Art dieser Extremstellen ist richtig?

  1. Es liegt nur eine Extremstelle bei x = 0 vor.
  2. Alle drei Extremstellen sind lokale Minima.
  3. Bei x = 0 liegt ein lokales Maximum, bei x = ±√2 liegen lokale Minima vor. Correct answer.
  4. Bei x = 0 liegt ein lokales Minimum, bei x = ±√2 liegen lokale Maxima vor.

Explanation

Es gilt f′(x) = 4x³ − 8x = 4x(x² − 2), also sind x = 0 und x = ±√2 kritische Stellen. Die zweite Ableitung f″(x) = 12x² − 8 ist bei x = 0 negativ (Maximum) und bei x = ±√2 positiv (Minima).

Question 22Analysis

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x·e^x. An welcher Stelle liegt das lokale Minimum von f?

  1. x = 1
  2. x = 0
  3. x = −2
  4. x = −1 Correct answer.

Explanation

Mit der Produktregel folgt f′(x) = e^x + x·e^x = e^x(1 + x). Da e^x stets positiv ist, verschwindet die Ableitung nur bei x = −1. Dort wechselt f′ vom Negativen ins Positive, also liegt ein lokales Minimum vor.

Question 23Analysis

Eine Funktion f ist auf ℝ zweimal differenzierbar, und es gilt f′(x) ≥ 0 für alle x sowie f″(x) ≤ 0 für alle x. Welche Aussage über den Graphen von f ist damit verträglich?

  1. Der Graph fällt monoton und ist rechtsgekrümmt.
  2. Der Graph fällt monoton und ist linksgekrümmt.
  3. Der Graph steigt monoton und ist rechtsgekrümmt. Correct answer.
  4. Der Graph steigt monoton und ist linksgekrümmt.

Explanation

Aus f′(x) ≥ 0 folgt monotones Steigen, aus f″(x) ≤ 0 folgt eine rechtsgekrümmte (konkave) Form. Beide Voraussetzungen zusammen beschreiben also einen monoton steigenden, rechtsgekrümmten Verlauf.

Question 24Analysis

Das uneigentliche Integral ∫₁^∞ 1/x² dx soll berechnet werden. Welchen Wert hat es?

  1. 0
  2. ∞
  3. 2
  4. 1 Correct answer.

Explanation

Eine Stammfunktion von 1/x² ist −1/x. Der Grenzwert lim(b→∞) [−1/x]₁^b = lim(b→∞)(−1/b + 1) ergibt 1. Das Integral konvergiert also, obwohl der Integrand für x → ∞ nur langsam abfällt.

Question 25Analysis

Die Funktion f mit f(x) = x³ − 6x² + 9x hat zwei Extremstellen. Welchen Abstand haben diese beiden Extremstellen voneinander?

  1. 4
  2. 2 Correct answer.
  3. 1
  4. 3

Explanation

Es gilt f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3). Die Extremstellen liegen also bei x = 1 und x = 3, ihr Abstand beträgt 2. Die zweite Ableitung bestätigt Maximum und Minimum.

Question 26Analysis

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 2x³ − 5x. Welchen Wert hat die Ableitung f′(x) an der Stelle x = 1?

  1. 6
  2. 11
  3. −1
  4. 1 Correct answer.

Explanation

Mit der Potenzregel ist f′(x) = 6x² − 5. Einsetzen von x = 1 liefert 6·1 − 5 = 1. Die Ableitung beschreibt die Steigung des Graphen an dieser Stelle.

Question 27Analysis

Welche Stammfunktion F von f(x) = 4x³ + 2 erfüllt die Bedingung F(0) = 3?

  1. F(x) = x⁴ + 2x
  2. F(x) = x⁴ + 2x − 3
  3. F(x) = x⁴ + 2x + 3 Correct answer.
  4. F(x) = 12x² + 2x + 3

Explanation

Eine Stammfunktion lautet x⁴ + 2x + C. Die Bedingung F(0) = 3 erzwingt C = 3, also F(x) = x⁴ + 2x + 3. Differenzieren bestätigt F′(x) = 4x³ + 2.

Question 28Analysis

Der Graph einer Funktion f besitzt an der Stelle x₀ = 4 eine waagerechte Tangente. Welche Aussage folgt daraus zwingend?

  1. Es gilt f′(4) = 0. Correct answer.
  2. Es gilt f(4) = 0.
  3. Es liegt bei x₀ = 4 ein Hochpunkt vor.
  4. Es gilt f″(4) = 0.

Explanation

Eine waagerechte Tangente bedeutet, dass die Steigung des Graphen an dieser Stelle null ist, also f′(4) = 0. Ob ein Extrempunkt oder ein Sattelpunkt vorliegt, entscheidet erst die zweite Ableitung.

Question 29Analysis

Berechne das bestimmte Integral ∫₁³ (2x + 1) dx.

  1. 12
  2. 6
  3. 10 Correct answer.
  4. 8

Explanation

Eine Stammfunktion ist x² + x. Auswerten an den Grenzen ergibt (9 + 3) − (1 + 1) = 12 − 2 = 10. Das Integral entspricht dem orientierten Flächeninhalt unter dem Graphen.

Question 30Analysis

Die Funktion f mit f(x) = e^(2x) ist gegeben. Welche Ableitung ist korrekt?

  1. f′(x) = e^(2x)
  2. f′(x) = e^(2x)/2
  3. f′(x) = 2x·e^(2x−1)
  4. f′(x) = 2·e^(2x) Correct answer.

Explanation

Nach der Kettenregel ist die Ableitung der äußeren Exponentialfunktion e^u gleich e^u, multipliziert mit der inneren Ableitung u′ = 2. Also gilt f′(x) = 2·e^(2x).

Question 31Analysis

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = (x − 1)²·(x + 2). Welche Nullstellen hat f und welche Vielfachheiten besitzen sie?

  1. x = 1 mit Vielfachheit 1 und x = −2 mit Vielfachheit 2
  2. x = 1 mit Vielfachheit 3
  3. x = −1 mit Vielfachheit 2 und x = 2 mit Vielfachheit 1
  4. x = 1 mit Vielfachheit 2 und x = −2 mit Vielfachheit 1 Correct answer.

Explanation

Die Nullstellen liest man aus den Linearfaktoren ab: (x − 1)² liefert x = 1 mit Vielfachheit 2, der Faktor (x + 2) liefert x = −2 mit Vielfachheit 1. Die Summe der Vielfachheiten entspricht dem Grad 3.

Question 32Analysis

Welchen Grenzwert besitzt der Term (3x² − x)/(x² + 4) für x → ∞?

  1. 0
  2. 3 Correct answer.
  3. ∞
  4. 1/4

Explanation

Bei rationalen Funktionen mit gleichem Zählergrad und Nennergrad bestimmt das Verhältnis der Leitkoeffizienten den Grenzwert. Hier ist das 3/1 = 3, da die niedrigeren Potenzen für große x verschwinden.

Question 33Analysis

Die Funktion f mit f(x) = x³ − 3x hat an der Stelle x = 1 eine waagerechte Tangente. Welche Art von Punkt liegt dort vor?

  1. Ein lokaler Tiefpunkt Correct answer.
  2. Ein lokaler Hochpunkt
  3. Ein Sattelpunkt
  4. Ein Wendepunkt ohne waagerechte Tangente

Explanation

Es gilt f′(x) = 3x² − 3 und f″(x) = 6x. An der Stelle x = 1 ist f′(1) = 0 und f″(1) = 6 > 0, also liegt ein lokaler Tiefpunkt vor.

Question 34Analysis

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x²·ln(x) für x > 0. Welche Ableitung ist korrekt?

  1. f′(x) = x²/x = x
  2. f′(x) = 2x·ln(x)
  3. f′(x) = 2x·ln(x) + x Correct answer.
  4. f′(x) = 2x + 1/x

Explanation

Nach der Produktregel ist f′(x) = 2x·ln(x) + x²·(1/x). Der zweite Summand vereinfacht sich zu x, also f′(x) = 2x·ln(x) + x.

Question 35Analysis

Die Funktion f mit f(x) = x·e^(−x) ist auf ℝ definiert. An welcher Stelle liegt ihr lokales Maximum?

  1. x = 1 Correct answer.
  2. x = e
  3. x = 0
  4. x = −1

Explanation

Mit der Produktregel gilt f′(x) = e^(−x) − x·e^(−x) = e^(−x)(1 − x). Die Ableitung verschwindet nur bei x = 1; dort wechselt sie von positiv zu negativ, also liegt ein Maximum vor.

Question 36Analysis

Das Integral ∫₀^b (x + 1) dx soll den Wert 12 haben, wobei b > 0 gilt. Welcher Wert von b erfüllt diese Bedingung?

  1. b = 6
  2. b = 5
  3. b = 3
  4. b = 4 Correct answer.

Explanation

Eine Stammfunktion ist x²/2 + x. Damit lautet die Gleichung b²/2 + b = 12, also b² + 2b − 24 = 0. Die positive Lösung dieser quadratischen Gleichung ist b = 4.

Question 37Analysis

Die Funktion f mit f(x) = (x² − 9)/(x + 3) ist für x ≠ −3 definiert. Welche Aussage beschreibt das Verhalten an der Stelle x = −3 zutreffend?

  1. Der Graph hat dort eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.
  2. Der Graph hat dort eine hebbare Definitionslücke mit dem Grenzwert −6. Correct answer.
  3. Der Graph hat dort eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.
  4. Der Graph hat dort eine Nullstelle.

Explanation

Der Zähler faktorisiert zu (x − 3)(x + 3). Für x ≠ −3 kürzt sich der Faktor (x + 3), und es bleibt f(x) = x − 3. Der Grenzwert für x → −3 ist daher −6, die Lücke ist hebbar.

Question 38Analysis

Die Funktion f mit f(x) = x³ − 6x² + 9x ist gegeben. Welche Wendestelle besitzt der Graph?

  1. x = 1
  2. x = 3
  3. x = 2 Correct answer.
  4. x = 0

Explanation

Es gilt f′(x) = 3x² − 12x + 9 und f″(x) = 6x − 12. Die zweite Ableitung verschwindet bei x = 2, und da f‴(x) = 6 ≠ 0 ist, liegt dort tatsächlich ein Wendepunkt vor.

Question 39Analysis

Die Funktion f mit f(x) = 2·sin(x) beschreibt eine Schwingung. Welchen Wert hat das Integral ∫₀^π f(x) dx?

  1. 4 Correct answer.
  2. 2
  3. 0
  4. −4

Explanation

Eine Stammfunktion von 2·sin(x) ist −2·cos(x). Auswerten ergibt −2·cos(π) − (−2·cos(0)) = 2 + 2 = 4. Der Wert entspricht der Fläche einer vollen Halbwelle.

Question 40Analysis

Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat an der Stelle x = −1 eine doppelte Nullstelle und an der Stelle x = 2 eine einfache Nullstelle. Welcher Funktionsterm passt zu diesen Angaben?

  1. f(x) = (x + 1)²·(x − 2) Correct answer.
  2. f(x) = (x + 1)²·(x + 2)
  3. f(x) = (x + 1)·(x − 2)²
  4. f(x) = (x − 1)²·(x + 2)

Explanation

Eine doppelte Nullstelle bei x = −1 liefert den Faktor (x + 1)², eine einfache Nullstelle bei x = 2 den Faktor (x − 2). Das Produkt hat Grad 3 und erfüllt beide Bedingungen.

Question 41Analysis

Gegeben ist f(x) = x⁴ − 2x². Wie viele Wendestellen besitzt der Graph von f?

  1. Vier Wendestellen
  2. Zwei Wendestellen Correct answer.
  3. Keine Wendestelle
  4. Eine Wendestelle

Explanation

Es gilt f′(x) = 4x³ − 4x und f″(x) = 12x² − 4. Die Gleichung f″(x) = 0 hat die beiden Lösungen x = ±1/√3, und dort wechselt das Vorzeichen der zweiten Ableitung jeweils.

Question 42Analysis

Die Funktion f mit f(x) = ln(x² + 1) ist auf ℝ definiert. Welche Aussage über ihr Krümmungsverhalten ist richtig?

  1. Der Graph ist auf ganz ℝ linksgekrümmt.
  2. Der Graph ist für x < 0 linksgekrümmt und für x > 0 rechtsgekrümmt.
  3. Der Graph ist auf ganz ℝ rechtsgekrümmt.
  4. Der Graph ist für x < 0 rechtsgekrümmt und für x > 0 linksgekrümmt. Correct answer.

Explanation

Mit der Kettenregel ist f′(x) = 2x/(x² + 1) und f″(x) = 2(1 − x²)/(x² + 1)². Für x < 0 ist der Zähler positiv, für x > 0 negativ, sodass sich das Krümmungsverhalten bei x = 0 ändert.

Question 43Analysis

Das uneigentliche Integral ∫₀^∞ e^(−2x) dx ist zu berechnen. Welchen Wert hat es?

  1. Es divergiert.
  2. 1/2 Correct answer.
  3. 1
  4. 2

Explanation

Eine Stammfunktion ist −(1/2)·e^(−2x). Für die obere Grenze strebt dieser Term gegen 0, an der unteren Grenze ergibt sich −(1/2). Die Differenz ist 0 − (−1/2) = 1/2.

Question 44Analysis

Eine Funktion f ist auf ℝ zweimal differenzierbar, und es gilt f′(x) < 0 sowie f″(x) > 0 für alle x. Welche Aussage über den Graphen von f ist richtig?

  1. Der Graph steigt und ist dabei linksgekrümmt.
  2. Der Graph fällt und ist dabei rechtsgekrümmt.
  3. Der Graph fällt und ist dabei linksgekrümmt. Correct answer.
  4. Der Graph steigt und ist dabei rechtsgekrümmt.

Explanation

Eine negative erste Ableitung bedeutet, dass die Funktion streng monoton fällt. Eine positive zweite Ableitung bedeutet, dass die Steigung selbst zunimmt, der Graph also linksgekrümmt ist.

Question 45Analysis

Die Graphen von f(x) = x² und g(x) = 2x schließen eine Fläche ein. Welchen Inhalt hat diese Fläche?

  1. 2
  2. 8/3
  3. 4/3 Correct answer.
  4. 4

Explanation

Die Schnittstellen ergeben sich aus x² = 2x zu x = 0 und x = 2. Das Integral von 2x − x² über [0; 2] ist [x² − x³/3] von 0 bis 2, also 4 − 8/3 = 4/3.

Question 46Analysis

Gegeben ist die Funktionenschar f_t(x) = x³ − 3t·x mit t > 0. Welche Aussage über die Extremstellen der Schar ist richtig?

  1. Die Extremstellen liegen bei x = ±√t, und der Parameter t verschiebt sie nach außen. Correct answer.
  2. Die Extremstellen liegen unabhängig von t bei x = ±1.
  3. Die Schar besitzt für jedes t > 0 nur eine Extremstelle.
  4. Die Extremstellen liegen bei x = ±3t.

Explanation

Aus f_t′(x) = 3x² − 3t folgt x² = t, also x = ±√t. Da t > 0 ist, existieren stets zwei Extremstellen, deren Abstand mit wachsendem t zunimmt.

Question 47Analysis

Die Funktion f mit f(x) = x·ln(x) ist für x > 0 definiert. An welcher Stelle liegt ihr lokales Minimum?

  1. x = e
  2. x = 1
  3. x = 0
  4. x = e^(−1) Correct answer.

Explanation

Mit der Produktregel gilt f′(x) = ln(x) + 1. Die Ableitung verschwindet bei ln(x) = −1, also x = e^(−1). Da f″(x) = 1/x > 0 ist, handelt es sich um ein Minimum.

Question 48Analysis

Das Integral ∫₀^1 x·e^x dx ist zu berechnen. Welchen Wert hat es?

  1. e
  2. e − 1
  3. 1/2
  4. 1 Correct answer.

Explanation

Partielle Integration mit u = x und v′ = e^x liefert [x·e^x] von 0 bis 1 minus ∫₀¹ e^x dx. Das ergibt e − (e − 1) = 1.

Question 49Analysis

Gegeben ist f(x) = (x² + 1)/x für x ≠ 0. Welche Aussage über die Ableitung f′ ist richtig?

  1. f′(x) = 1 − 1/x², und f besitzt an der Stelle x = 1 ein lokales Maximum.
  2. f′(x) = 2x, und f besitzt an der Stelle x = 0 ein Minimum.
  3. f′(x) = 1 − 1/x², und f besitzt an der Stelle x = 1 ein lokales Minimum. Correct answer.
  4. f′(x) = 1 + 1/x², und f ist auf ihrem gesamten Definitionsbereich monoton wachsend.

Explanation

Schreibt man f(x) = x + 1/x, so ist f′(x) = 1 − 1/x². Nullsetzen ergibt x = ±1; an der Stelle x = 1 wechselt f′ von negativ zu positiv, also liegt dort ein Minimum vor.

Question 50Analysis

Eine Funktion f erfüllt f(0) = 0 und f′(x) = f(x) für alle x. Welche Funktion kommt dafür nur in Frage?

  1. f(x) = sin(x)
  2. f(x) = x
  3. f(x) = 0 für alle x Correct answer.
  4. f(x) = x²

Explanation

Die Differenzialgleichung f′ = f hat die allgemeine Lösung f(x) = C·e^x. Die Anfangsbedingung f(0) = 0 erzwingt C = 0, also die Nullfunktion.