Analysis: e-Funktionen, Funktionsscharen und Integralrechnung
Die Analysis ist im Berliner Leistungskurs der Bereich, in dem Ableitung, Kurvendiskussion, Funktionsscharen und Integralrechnung zusammenlaufen. Geprüft wird, ob du eine Funktion hilfsmittelfrei im Ansatz durchdringst und mit Hilfsmittel sauber zu Ende rechnest: Definitionsbereich, Symmetrie, Verhalten für x → ±∞, Extrem- und Wendestellen, Tangenten, Stammfunktionen, Flächen zwischen Kurven und uneigentliche Integrale.
Werkzeuge, die sitzen müssen
- Produkt-, Ketten- und Quotientenregel; bei e-Funktionen die innere Ableitung konsequent mitnehmen.
- Notwendig für Extremstellen: f'(x) = 0. Hinreichend: Vorzeichenwechsel von f' oder f''(x) ≠ 0 - beides gehört in die Begründung.
- Wendepunkt: f''(x) = 0 und tatsächlicher Krümmungswechsel; f'''(x) ≠ 0 ist nur hinreichend.
- Scharen: Ableitung nach x, Parameter wie eine Konstante behandeln; Ortskurven der Extrempunkte durch Eliminieren von t.
- Uneigentliches Integral: obere Grenze als b schreiben, Stammfunktion bilden, dann Grenzwert b → ∞.
- Flächeninhalte: Nullstellen als Teilgrenzen, Beträge der Teilintegrale addieren.
Durchgerechnetes Beispiel
f(x) = (x+1)·e^(−x), Definitionsbereich ℝ. f'(x) = e^(−x) + (x+1)·(−e^(−x)) = −x·e^(−x). Null nur bei x = 0, und f' wechselt dort von + nach −, also Hochpunkt H(0|1). f''(x) = −e^(−x) + (−x)·(−e^(−x)) = (x−1)·e^(−x). Null bei x = 1 mit Vorzeichenwechsel von − nach +, also Wendepunkt W(1|2/e) ≈ W(1|0,736). Fläche unter dem Graphen ab x = 0: ∫(x+1)e^(−x)dx = −(x+1)e^(−x) + ∫e^(−x)dx = −(x+2)e^(−x). Damit ist A(b) = 2 − (b+2)e^(−b), und für b → ∞ gilt (b+2)e^(−b) → 0, also A = 2. Das uneigentliche Integral konvergiert.
Typische Fallen
- f'(x) = 0 wird als Beweis für ein Extremum genommen; der Vorzeichenwechsel fehlt.
- Beim partiellen Integrieren wird das Vorzeichen des zweiten Terms vergessen oder die e-Funktion falsch aufgeleitet.
- Der Grenzwert wird durch Einsetzen einer "sehr großen Zahl" ersetzt statt begründet.
- Flächen unter der x-Achse werden ohne Betrag addiert und heben sich auf.
- Bei Scharen wird der Parameter beim Ableiten wie eine Variable behandelt.
- Der Definitionsbereich wird ignoriert, obwohl dort Nenner oder Wurzelgrenzen liegen.