Lineare Algebra / Analytische Geometrie: Geraden, Ebenen, Abstände und Winkel
Die Analytische Geometrie prüft im Berliner LK den sicheren Umgang mit Vektoren im dreidimensionalen Raum: Geraden und Ebenen in Parameter-, Normalen- und Koordinatenform, Lagebeziehungen samt Durchstoßpunkten, Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Abstände und Schnittwinkel. Dazu kommen Argumentieren mit Parameterformen, das Aufstellen von Hilfsebenen und Ebenenscharen.
Kernregeln
- Ebene aus drei Punkten: ein Aufpunkt, zwei Spannvektoren, dann Normalenvektor über das Kreuzprodukt.
- Lagebeziehung Gerade–Ebene: Geradenterm in die Koordinatenform einsetzen. Eine eindeutige Lösung liefert den Durchstoßpunkt, eine falsche Aussage bedeutet echt parallel, eine wahre Aussage "Gerade liegt in der Ebene".
- Lagebeziehung Gerade–Gerade: Richtungsvektoren auf lineare Unabhängigkeit prüfen, dann Gleichungssystem lösen; windschief bei Widerspruch.
- Abstand Punkt–Ebene mit der Hesseschen Normalenform: d = |n·(p − a)| / |n|.
- Winkel Gerade–Ebene über den Sinus, Winkel Ebene–Ebene und Gerade–Gerade über den Kosinus, jeweils mit Betrag.
- Abstand windschiefer Geraden: Hilfsebene durch eine Gerade parallel zur anderen, dann Punkt-Ebene-Abstand.
Durchgerechnetes Beispiel
Gerade g: x = (1|2|3) + t·(2|−1|1), Ebene E: x − y + 2z = 10. Einsetzen: (1+2t) − (2−t) + 2(3+t) = 10, also 1+2t−2+t+6+2t = 10, zusammengefasst 5t+5 = 10, damit t = 1 und S(3|1|4). Probe in E: 3 − 1 + 8 = 10 ✓. Der Richtungsvektor (2|−1|1) steht nicht senkrecht auf n = (1|−1|2), denn das Skalarprodukt ist 2+1+2 = 5 ≠ 0 - es liegt also kein Parallelfall vor. Abstand des Punktes P(3|1|2) von E: d = |3−1+4−10| / √(1+1+4) = 4/√6 ≈ 1,63.
Typische Fallen
- Winkel Gerade–Ebene mit cos statt sin berechnen.
- Beim Punkt-Ebene-Abstand die Normierung durch |n| vergessen.
- Parallel und "liegt in der Ebene" nicht unterscheiden, weil das Ergebnis des Einsetzens nicht gedeutet wird.
- Kreuzprodukt in falscher Reihenfolge, wodurch die Orientierung des Normalenvektors kippt.
- Betragsstriche beim Abstand weglassen und ein negatives Ergebnis angeben.
- Bei Ebenenscharen die Lagebeziehung nur für einen Parameterwert untersuchen.