Stochastik: Binomialverteilung, Sigma-Regeln und Hypothesentests
Die Stochastik im Berliner LK verbindet Rechnen und Deuten: Bernoulli-Ketten, Binomialverteilung mit Erwartungswert und Standardabweichung, Prognose- und Konfidenzintervalle sowie einseitige und zweiseitige Signifikanztests mit Fehlern erster und zweiter Art. Erwartet wird, dass du einen Sachtext in ein Modell übersetzt, die Zufallsgröße sauber definierst und das Ergebnis im Kontext interpretierst.
Kernregeln
- X ~ B(n;p): P(X = k) = C(n;k)·p^k·(1−p)^(n−k); kumulierte Wahrscheinlichkeiten aus Tabelle oder Rechner.
- μ = n·p, σ = √(n·p·(1−p)); die Sigma-Regeln sind Näherungen und nur bei ausreichend großer Streuung (grob σ > 3) zulässig.
- Test: H₀ enthält immer die Gleichheit (p = p₀), H₁ die Vermutung mit < oder >. Verwerfungsbereich so wählen, dass P(X im Bereich | H₀) ≤ α.
- Einseitig links: größtes k mit P(X ≤ k) ≤ α. Einseitig rechts: kleinstes k mit P(X ≥ k) ≤ α. Zweiseitig: α halbieren und beide Ränder prüfen.
- Fehler erster Art: H₀ verwerfen, obwohl sie wahr ist (Wahrscheinlichkeit ≤ α). Fehler zweiter Art: H₀ beibehalten, obwohl eine konkrete Alternative p₁ gilt.
Durchgerechnetes Beispiel
n = 100, H₀: p = 0,5 gegen H₁: p < 0,5, α = 5 %. Mit μ = 50 und σ = √(100·0,5·0,5) = 5 liegt der kritische Wert näherungsweise bei 50 − 1,645·5 = 41,8, also im Bereich um 41/42. Exakt geprüft: P(X ≤ 41) ≈ 0,044 ≤ 0,05, aber P(X ≤ 42) ≈ 0,067 > 0,05. Verwerfungsbereich also {0; …; 41}; das tatsächliche Niveau liegt bei etwa 4,4 %. Fehler zweiter Art für die Alternative p₁ = 0,4: P(X ≥ 42 | p = 0,4) ≈ 0,38, das heißt rund 38 % - bei diesem Stichprobenumfang ein hohes Risiko.
Typische Fallen
- "Mindestens" und "höchstens" verwechseln und dadurch die falsche Seite der Verteilung testen.
- Gegenwahrscheinlichkeit vergessen: P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k−1), die −1 wird oft ausgelassen.
- Die Normalapproximation als exaktes Ergebnis ausgeben, obwohl die Tabelle oder der Rechner zu nutzen ist.
- α als Wahrscheinlichkeit deuten, dass H₀ wahr ist - das ist sie nicht.
- Fehler erster und zweiter Art vertauschen.
- Den kritischen Wert in die falsche Richtung runden und dadurch α überschreiten.