Bestellrate nach einer Werbekampagne
Ein Onlinehändler untersucht die Bestellrate nach dem Start einer Werbekampagne. Die Rate wird in Hundert Bestellungen pro Stunde gemessen und für t ≥ 0 (t in Stunden) durch r_a(t) = a·t·e^(−a·t) modelliert, wobei a > 0 ein unternehmensspezifischer Decay-Parameter ist. Aus Daten einer früheren Kampagne ist bekannt, dass die Rate genau vier Stunden nach Kampagnenstart maximal ist; die Marketingleitung will diesen Wert für a übernehmen. Außerdem soll die insgesamt zu erwartende Bestellzahl abgeschätzt werden, um das Lager zu planen. Die Geschäftsführung hat angekündigt, nur dann zusätzliches Personal einzusetzen, wenn mehr als 500 Bestellungen zu erwarten sind. Ein Praktikant wendet die Formel ohne Einheitenprüfung an und erhält ein Ergebnis, das ihm „sehr klein“ erscheint. Die Verantwortlichen sind unsicher, ob das Modell trotz des endlichen Integrals für große t sinnvoll ist, weil die Rate zwar gegen null geht, aber nie exakt null wird.
1. Bestimme a aus der Bedingung, dass die Bestellrate bei t = 4 h maximal ist, und erläutere die Bedeutung von a im Sachkontext.
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Für t > 0 gilt r_a'(t) = a·e^(−a t)·(1 − a t). Die Ableitung verschwindet nur bei t = 1/a; wegen des Vorzeichenwechsels von + nach − liegt dort das globale Maximum. Aus 1/a = 4 folgt a = 0,25 h^(−1). a beschreibt, wie schnell die Rate nach dem Peak abfällt: Ein größeres a würde den Peak nach links verschieben und den Abfall beschleunigen; ein kleineres a würde den Peak später setzen und die Kampagne „länger“ nachklingen lassen. Die Höhe der Rate wird durch a ebenfalls skaliert, weil r_a(4) = 0,25·4·e^(−1) = e^(−1) ≈ 0,368, also etwa 37 Bestellungen pro Stunde im Maximum. Die Maximalstelle allein legt a fest, sagt aber nichts darüber aus, ob das Modell die tatsächliche Höhe trifft.
2. Berechne die insgesamt zu erwartende Bestellzahl und beurteile, ob zusätzliches Personal eingesetzt werden muss.
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Die Gesamtzahl ist das Integral der Rate über t ≥ 0, gemessen in Hundert Bestellungen: ∫_0^∞ a t e^(−a t) dt. Substitution u = a t liefert ∫_0^∞ (u/a) e^(−u) du = (1/a)·1 = 1/a. Mit a = 0,25 ergibt sich 4, also 400 Bestellungen. Das liegt unter der Schwelle von 500; nach der angekündigten Regel ist kein zusätzliches Personal erforderlich. Die Rechnung zeigt zugleich, dass die Einheit entscheidend ist: Würde man die Rate als „Bestellungen pro Stunde“ statt „Hundert Bestellungen pro Stunde“ lesen, wären es nur 4 Bestellungen insgesamt, was im Sachkontext unplausibel ist. Vor der Personalentscheidung muss die Skalierung daher geklärt werden; das Integral allein liefert nur bei korrekter Einheit eine belastbare Zahl.
3. Diskutiere, ob die Maximalstelle ausreicht, um das Modell zu validieren, und welche Rolle das Verhalten für große t spielt.
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Die Maximalstelle bestimmt nur einen Parameter; sie ist ein einzelner Datenpunkt und kann ein falsches Modell nicht bestätigen. Das Modell erzwingt außerdem, dass die Rate für große t gegen null geht, ohne je null zu werden; das Integral bleibt endlich, weil der Exponentialfaktor den linearen Term dominiert. Sachlich ist das plausibel, solange die Kampagne nachlässt, aber es kann nicht zwischen verschiedenen Abklingformen unterscheiden. Für eine Validierung bräuchte man mehrere Messungen, etwa die Rate nach 2, 4 und 8 Stunden, und müsste prüfen, ob die geschätzte Gesamtzahl mit beobachteten Bestellzahlen übereinstimmt. Die Aussage „400 Bestellungen“ ist daher eine Modellfolgerung, keine Messung; die Personalentscheidung sollte den Schätzfehler und die Einheit berücksichtigen.