Bremen Abitur Math LK cheat sheet

Ableitungsregeln: Produkt (u·v)' = u'v + uv'; Quotient (u/v)' = (u'v − uv')/v²; Kette f(g(x))' = f'(g(x))·g'(x).

e-Funktion: (e^x)' = e^x; (e^{kx})' = k·e^{kx}. ln: (ln x)' = 1/x, Definitionsbereich x > 0; (ln(g(x)))' = g'(x)/g(x).

Sinus/Cosinus: (sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x; innere Ableitung bei sin(kx) bzw. cos(kx) nicht vergessen (Faktor k).

Extrema-Kriterium: notwendig f'(x₀) = 0; hinreichend f'(x₀) = 0 und f''(x₀) ≠ 0 - f''(x₀) < 0 Hochpunkt, f''(x₀) > 0 Tiefpunkt.

Wendepunkt: f''(x₀) = 0 und f'''(x₀) ≠ 0; Krümmungswechsel prüfen, da f''(x₀) = 0 nicht hinreichend ist.

Tangentengleichung an der Stelle a: t(x) = f'(a)·(x − a) + f(a); Normale: Steigung −1/f'(a) für f'(a) ≠ 0.

Substitutionsregel: ∫ f(g(x))·g'(x) dx = F(g(x)) + C; partielle Integration: ∫ u·v' dx = u·v − ∫ u'·v dx.

Fläche zwischen zwei Graphen über [a;b]: A = ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx; Schnittstellen zuerst berechnen und Teilintegrale mit Vorzeichenwechsel bilden.

Wachstum: exponentiell f(t) = a·e^{kt} mit k > 0 Wachstum, k < 0 Zerfall; Verdopplungszeit T = ln 2 / k. Beschränktes Wachstum: f(t) = S − (S − f(0))·e^{−kt}.

Skalarprodukt: a⃗·b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃; orthogonal genau dann, wenn a⃗·b⃗ = 0. Länge |a⃗| = √(a⃗·a⃗).

Winkel zwischen Vektoren: cos φ = (a⃗·b⃗)/(|a⃗|·|b⃗|); Winkel zwischen Gerade und Ebene über sin φ = |u⃗·n⃗|/(|u⃗|·|n⃗|).

Kreuzprodukt a⃗ × b⃗ liefert einen zu beiden Vektoren orthogonalen Normalenvektor; Betrag = Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms.

Gerade: g: x⃗ = p⃗ + t·u⃗; Ebene in Normalenform: n⃗·(x⃗ − p⃗) = 0, in Koordinatenform: n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = d.

Abstand Punkt–Ebene: d = |n⃗·(p⃗ − q⃗)| / |n⃗| mit q⃗ als Aufpunkt der Ebene; in Koordinatenform d = |n₁p₁ + n₂p₂ + n₃p₃ − d| / |n⃗|.

Abstand windschiefer Geraden: d = |(p⃗₂ − p⃗₁)·(u⃗₁ × u⃗₂)| / |u⃗₁ × u⃗₂|; parallele Geraden über Abstand Punkt–Gerade.

Lagebeziehungen Gerade–Ebene: u⃗·n⃗ ≠ 0 ⇒ genau ein Schnittpunkt; u⃗·n⃗ = 0 und n⃗·(p⃗ − q⃗) = 0 ⇒ Gerade liegt in der Ebene, sonst echt parallel.

Schnittwinkel zweier Ebenen über cos φ = |n⃗₁·n⃗₂|/(|n⃗₁|·|n⃗₂|); Lotfußpunkt durch Einsetzen der Lotgeraden x⃗ = p⃗ + t·n⃗ in die Ebenengleichung.

Binomialverteilung: P(X = k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^{n−k}; Voraussetzungen: feste Versuchszahl n, konstantes p, Unabhängigkeit.

Erwartungswert μ = n·p, Varianz σ² = n·p·(1−p), Standardabweichung σ = √(n·p·(1−p)).

Sigma-Regeln (näherungsweise): P(μ − σ ≤ X ≤ μ + σ) ≈ 68,3 %, P(μ − 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ) ≈ 95,4 %, P(μ − 3σ ≤ X ≤ μ + 3σ) ≈ 99,7 %.

Mindestens-Aufgaben: P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − (1−p)^n; nach n auflösen über Logarithmieren.

Gegenwahrscheinlichkeit: P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1); bei „mindestens“ stets das Gegenereignis prüfen.

Dichtefunktion f einer stetigen Zufallsgröße: f(x) ≥ 0 und ∫f(x)dx = 1 über den gesamten Definitionsbereich; P(a ≤ X ≤ b) = ∫ₐᵇ f(x)dx.

Normalverteilung: Dichte φ(x) = 1/(σ√(2π))·e^{−(x−μ)²/(2σ²)}; standardisiert z = (x − μ)/σ, dann Tabellen der Standardnormalverteilung nutzen.

Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = P(A∩B)/P(B) mit P(B) > 0; Unabhängigkeit genau dann, wenn P(A∩B) = P(A)·P(B).

Vierfeldertafel: Randwahrscheinlichkeiten addieren sich zu 1; Satz von Bayes P(A|B) = P(B|A)·P(A)/P(B) zur Umkehrung der Bedingung.