Bremen Abitur Math LK flashcards

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Ableitung von e^{kx}

Die Ableitung lautet k·e^{kx}. Der Faktor k ist die innere Ableitung des Exponenten und muss nach der Kettenregel mitgeführt werden.

Kettenregel

Für die verkettete Funktion f(g(x)) gilt f'(g(x))·g'(x). Äußere Ableitung an der inneren Stelle multipliziert mit der inneren Ableitung.

Produktregel

Die Ableitung des Produkts u·v ist u'·v + u·v'. Beide Summanden entstehen, indem jeweils genau ein Faktor abgeleitet wird.

Quotientenregel

Für u/v mit v ≠ 0 gilt (u'·v − u·v')/v². Die Reihenfolge im Zähler ist entscheidend, da das Minuszeichen nicht vertauschbar ist.

Hinreichendes Kriterium für Extremum

Ist f'(x₀) = 0 und f''(x₀) < 0, liegt ein Hochpunkt vor; bei f''(x₀) > 0 ein Tiefpunkt. Bei f''(x₀) = 0 ist keine Entscheidung möglich.

Wendepunkt

Ein Wendepunkt liegt vor, wenn f''(x₀) = 0 und f'''(x₀) ≠ 0 gilt, also ein Krümmungswechsel stattfindet. Die zweite Ableitung allein genügt nicht.

Tangentengleichung

Die Tangente an f an der Stelle a lautet t(x) = f'(a)·(x − a) + f(a). Sie hat dort dieselbe Steigung und denselben Funktionswert wie der Graph.

Partielle Integration

Es gilt ∫u·v' dx = u·v − ∫u'·v dx. Die Formel ist die Umkehrung der Produktregel und eignet sich für Produkte wie x·e^x.

Substitutionsregel

Für ∫f(g(x))·g'(x)dx gilt F(g(x)) + C. Die innere Ableitung muss also als Faktor vorhanden sein, sonst ist die Substitution nicht direkt anwendbar.

Fläche zwischen zwei Graphen

Der Inhalt über [a;b] ist ∫ₐᵇ|f(x) − g(x)|dx. Schnittstellen zerlegen das Intervall in Abschnitte mit gleichem Vorzeichen der Differenz.

Verdopplungszeit bei exponentiellem Wachstum

Bei f(t) = a·e^{kt} mit k > 0 gilt T = ln(2)/k. Der Startwert a kürzt sich heraus, die Verdopplungszeit ist also unabhängig vom Anfangswert.

Beschränktes Wachstum

Die Funktion f(t) = S − (S − f(0))·e^{−kt} nähert sich für k > 0 der Schranke S an. Die Differenz zur Schranke klingt exponentiell ab.

Skalarprodukt

Für Vektoren im Raum gilt a⃗·b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Das Ergebnis ist eine reelle Zahl, keine Vektorgröße.

Orthogonalität über Skalarprodukt

Zwei Vektoren stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt null ist. Das gilt auch für Nullvektoren als Sonderfall.

Betrag eines Vektors

Die Länge ist |a⃗| = √(a₁² + a₂² + a₃²). Sie entspricht der Wurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst.

Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt a⃗ × b⃗ steht senkrecht auf beiden Vektoren. Sein Betrag entspricht dem Flächeninhalt des von beiden aufgespannten Parallelogramms.

Winkel zwischen Vektoren

Es gilt cos φ = (a⃗·b⃗)/(|a⃗|·|b⃗|). Der Winkel liegt im Bereich von 0 bis 180 Grad, abhängig vom Vorzeichen des Skalarprodukts.

Normalenform der Ebene

Die Ebene besteht aus allen Punkten x⃗ mit n⃗·(x⃗ − p⃗) = 0. Dabei ist p⃗ ein Aufpunkt und n⃗ ein Normalenvektor der Ebene.

Koordinatenform einer Ebene

Die Gleichung n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = d beschreibt eine Ebene mit Normalenvektor (n₁, n₂, n₃). Der Wert d folgt aus dem Einsetzen eines Ebenenpunkts.

Abstand Punkt zu Ebene

Der Abstand ist |n⃗·(p⃗ − q⃗)|/|n⃗|, wobei q⃗ ein Punkt der Ebene und n⃗ ein Normalenvektor ist. Der Betrag verhindert negative Abstände.

Abstand windschiefer Geraden

Der Abstand beträgt |(p⃗₂ − p⃗₁)·(u⃗₁ × u⃗₂)|/|u⃗₁ × u⃗₂|. Der Zähler ist das Spatprodukt aus Verbindungsvektor und beiden Richtungsvektoren.

Gerade schneidet Ebene

Genau ein Schnittpunkt existiert, wenn das Skalarprodukt aus Richtungsvektor der Geraden und Normalenvektor der Ebene ungleich null ist. Sonst ist die Gerade parallel oder liegt in der Ebene.

Gerade liegt in der Ebene

Das ist der Fall, wenn u⃗·n⃗ = 0 gilt und zusätzlich der Aufpunkt der Geraden die Ebenengleichung erfüllt. Fehlt die zweite Bedingung, verläuft die Gerade echt parallel.

Schnittwinkel zweier Ebenen

Der Winkel ergibt sich aus cos φ = |n⃗₁·n⃗₂|/(|n⃗₁|·|n⃗₂|). Der Betrag sorgt dafür, dass der spitze Winkel zwischen den Ebenen geliefert wird.

Winkel zwischen Gerade und Ebene

Hier gilt sin φ = |u⃗·n⃗|/(|u⃗|·|n⃗|). Der Sinus wird verwendet, weil der Winkel das Komplement zum Winkel zwischen Gerade und Normalenvektor ist.

Binomialverteilung Formel

P(X = k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^{n−k}. Voraussetzung sind feste Versuchszahl n, konstante Trefferwahrscheinlichkeit p und unabhängige Einzelversuche.

Erwartungswert der Binomialverteilung

Es gilt μ = n·p. Der Erwartungswert gibt die mittlere Trefferzahl bei häufiger Wiederholung des Zufallsexperiments an.

Standardabweichung der Binomialverteilung

Die Standardabweichung ist σ = √(n·p·(1−p)). Sie ist ein Maß für die typische Streuung der Trefferzahl um den Erwartungswert μ.

Sigma-Regeln

Näherungsweise liegen etwa 68,3 % der Werte in [μ−σ; μ+σ], etwa 95,4 % in [μ−2σ; μ+2σ] und etwa 99,7 % in [μ−3σ; μ+3σ].

Gegenwahrscheinlichkeit

Es gilt P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1). Bei „mindestens“-Aufgaben ist die Berechnung über das Gegenereignis meist deutlich einfacher.

Mindestens ein Treffer

P(X ≥ 1) = 1 − (1−p)^n. Die Gleichung lässt sich nach n auflösen, indem man logarithmiert, etwa bei der Suche nach der Versuchszahl.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

P(A|B) = P(A∩B)/P(B) mit P(B) > 0. Die Bedingung schränkt den Ergebnisraum auf das Ereignis B ein.

Stochastische Unabhängigkeit

Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn P(A∩B) = P(A)·P(B) gilt. Gleichwertig ist P(A|B) = P(A) für P(B) > 0.