Wasserpflanze im See: exponentiell oder logistisch?
Ein Umweltgutachten untersucht die Ausbreitung einer Wasserpflanze in einem See. Zu Beginn (t = 0) bedeckt die Pflanze 2 ha. Nach 5 Jahren sind es 8 ha, nach 10 Jahren 18 ha. Das erste Gutachten verwendet ein exponentielles Modell A_e(t) = 2·e^(k·t). Ein Gegengutachten argumentiert, der See biete nur etwa 25 ha geeignete Fläche, und schlägt ein logistisches Modell A_l(t) = 25/(1 + c·e^(−r·t)) vor. Die Gemeinde will wissen, ob sie in 15 Jahren mit einer vollständigen Bedeckung rechnen muss und ob das exponentielle Modell für Prognosen taugt. Ein Ratsmitglied bemerkt, das exponentielle Modell treffe die Beobachtung nach 10 Jahren „ziemlich genau“, wenn man k aus dem 10-Jahres-Wert bestimme. Ein anderes Mitglied hält das für einen Zirkelschluss. Die Diskussion soll mit nachvollziehbaren Rechnungen versachlicht werden.
1. Bestimme k im exponentiellen Modell aus dem 5-Jahres-Wert und berechne die Prognose für t = 10. Vergleiche mit der Beobachtung.
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A_e(5) = 2 e^(5k) = 8 ⇒ e^(5k) = 4 ⇒ k = ln(4)/5 ≈ 0,2773 pro Jahr. Damit A_e(10) = 2 e^(10k) = 2·(e^(5k))² = 2·16 = 32 ha. Beobachtet sind 18 ha; das Modell überschätzt um 14 ha, also um 78 % bezogen auf 18 ha. Der Vergleich ist fair, weil k nur aus dem 5-Jahres-Wert bestimmt wurde und der 10-Jahres-Wert als Prüfpunkt dient. Würde man k aus dem 10-Jahres-Wert bestimmen, wäre die Anpassung bei t = 10 trivial und als Validierung unbrauchbar. Die starke Überschätzung ist ein Hinweis auf begrenztes Wachstum; ein exponentielles Modell ohne Kapazität passt offenbar nicht über den gesamten Zeitraum.
2. Bestimme c und r im logistischen Modell mit K = 25 aus A(0) = 2 und A(5) = 8 und prüfe die 10-Jahres-Beobachtung.
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A_l(0) = 25/(1 + c) = 2 ⇒ 1 + c = 12,5 ⇒ c = 11,5. Aus A_l(5) = 8: 8 = 25/(1 + 11,5 e^(−5r)) ⇒ 1 + 11,5 e^(−5r) = 25/8 = 3,125 ⇒ e^(−5r) = 2,125/11,5 ≈ 0,18478 ⇒ −5r = ln(0,18478) ≈ −1,688 ⇒ r ≈ 0,3376 pro Jahr. Prognose: e^(−10r) = e^(−3,376) ≈ 0,0342; A_l(10) = 25/(1 + 11,5·0,0342) ≈ 25/1,393 ≈ 17,95 ha. Das passt sehr gut zu den beobachteten 18 ha. Die beiden freien Parameter c und r wurden aus zwei Datenpunkten bestimmt; der dritte Punkt ist damit eine echte Prüfung. Allerdings ist K = 25 eine zusätzliche Annahme, die nicht aus den drei Werten folgt, sondern aus der geschätzten geeigneten Seefläche stammt.
3. Beurteile, welches Modell für eine Prognose nach 15 Jahren geeigneter ist, und diskutiere die Annahme K = 25.
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Exponentiell: A_e(15) = 2 e^(15·0,2773) ≈ 2 e^(4,16) ≈ 128 ha; das übersteigt die Seefläche von 25 ha deutlich und ist biologisch unsinnig. Logistisch: e^(−15r) = e^(−5,064) ≈ 0,0063; A_l(15) = 25/(1 + 11,5·0,0063) ≈ 25/1,0725 ≈ 23,3 ha; die Pflanze nähert sich der Kapazität, ohne sie zu überschreiten. Für die Frage nach 15 Jahren ist das logistische Modell daher klar geeigneter, weil es die beobachtete Abflachung und die endliche Fläche berücksichtigt. Die Kapazität K = 25 ist aber der kritische Punkt: Sie ist nicht aus den Daten geschätzt, sondern vorausgesetzt. Wäre K = 30, ergäben sich andere Werte für c und r und eine andere Prognose. Die Gemeinde sollte K durch eine unabhängige Flächenerhebung absichern; die Daten bis t = 10 stützen das logistische Muster, beweisen aber K = 25 nicht.