Drei Ebenen mit Konstruktionsparameter
Ein Architekturbüro plant eine dreieckige Dachkonstruktion. Drei Ebenen werden durch die Gleichungen E_a: x + y + a·z = 1, F: 2x − y + z = 3 und G: x + a·y + z = 2 beschrieben, wobei a eine reelle Konstruktionsvariable ist. Ein Verbindungsknoten soll im gemeinsamen Schnittpunkt der drei Ebenen liegen. Für die Statik ist entscheidend, ob die drei Ebenen sich in genau einem Punkt, in einer Geraden oder gar nicht schneiden. Das Büro hat bereits einen Entwurf mit a = 0 gerechnet und dabei den Punkt (1|0|1) erhalten. Nun soll geprüft werden, für welche a diese Konstruktion eindeutig ist und ob es Werte gibt, bei denen die Schnittmenge eine Gerade ist – dann müsste der Knoten entlang einer Linie verschoben werden. Ein Kollege behauptet, bei a = 1 sei die Schnittmenge eine Gerade, weil dann zwei Ebenen parallel seien. Diese Behauptung ist zu prüfen.
1. Bestimme alle a, für die das Gleichungssystem genau eine Lösung hat.
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Koeffizientenmatrix M_a = [[1,1,a],[2,−1,1],[1,a,1]]. Entwicklung nach der ersten Zeile: det(M_a) = 1·((−1)·1 − 1·a) − 1·(2·1 − 1·1) + a·(2a − (−1)·1) = (−1 − a) − 1 + (2a² + a) = 2a² − 2 = 2(a² − 1). Genau eine Lösung gibt es, wenn det ≠ 0, also für a ≠ 1 und a ≠ −1. Für diese Werte sind die drei Ebenen nicht parallel im verallgemeinerten Sinn und schneiden sich in genau einem Punkt. Die Determinante allein zeigt noch nicht, was bei a = 1 oder a = −1 geometrisch passiert; dafür muss man die jeweiligen Gleichungen einsetzen.
2. Untersuche a = 1 und a = −1 auf Lösbarkeit und prüfe die Behauptung, bei a = 1 sei die Schnittmenge eine Gerade.
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a = 1: E_1: x + y + z = 1, G: x + y + z = 2. E_1 und G sind parallel und verschieden; damit gibt es keinen gemeinsamen Punkt, erst recht keine Gerade. F ist zu keiner der beiden parallel, schneidet sie aber in verschiedenen Geraden. a = −1: E_(−1): x + y − z = 1, F: 2x − y + z = 3, G: x − y + z = 2. Aus E + G folgt 2x = 3, also x = 1,5. G liefert dann −y + z = 0,5, F liefert −y + z = 0; das ist ein Widerspruch. Also ist das System unlösbar. Die Behauptung des Kollegen ist falsch: Bei a = 1 sind zwei Ebenen parallel, aber die Schnittmenge ist leer, nicht eine Gerade. Eine Gerade als Schnittmenge tritt bei keinem a auf, weil die einzigen singulären Fälle unlösbar sind.
3. Berechne für a = 0 den Schnittpunkt und seinen Abstand zum Ursprung; beurteile, ob der Punkt (1|0|1) als Knoten geeignet ist, wenn ein Mindestabstand von 1,5 m zum Ursprung gefordert ist.
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a = 0: E_0: x + y = 1; F: 2x − y + z = 3; G: x + z = 2. Aus E: y = 1 − x; aus G: z = 2 − x. In F: 2x − (1 − x) + (2 − x) = 3 ⇒ 2x − 1 + x + 2 − x = 3 ⇒ 2x + 1 = 3 ⇒ x = 1. Dann y = 0, z = 1. Schnittpunkt S(1|0|1). Abstand |OS| = √(1² + 0² + 1²) = √2 ≈ 1,414 m. Der geforderte Mindestabstand von 1,5 m wird also knapp verfehlt. Der Knoten wäre um etwa 0,086 m zu nah am Ursprung; eine Verschiebung oder eine andere Wahl von a wäre nötig, sofern die übrigen Randbedingungen das zulassen. Die Rechnung zeigt, dass die Existenz eines eindeutigen Schnittpunkts noch nicht bedeutet, dass er die technischen Anforderungen erfüllt.