Tetraederzelt mit Höhenparameter
Ein Zelt hat die Form eines Tetraeders mit den Eckpunkten A(1|0|0), B(0|2|0), C(0|0|a) und D(1|1|1), wobei a > 0 die Höhe der hinteren Spitze steuert. Aus Statikgründen darf a höchstens 5 betragen. Der Hersteller möchte das Volumen des Zeltes kennen und prüft, ob ein Volumen von 2 m³ realisierbar ist; die Koordinaten sind in Metern angegeben. Außerdem soll diejenige Seite bestimmt werden, die dem größten Winkel gegenüberliegt, weil dort eine Verstärkung angebracht werden muss. Ein Praktikant setzt a = 10 und erhält ein Volumen von 2 m³, ohne die Nebenbedingung a ≤ 5 zu beachten. Die Frage ist, ob sein Ergebnis verwendbar ist und wie das maximale Volumen unter der Nebenbedingung aussieht. Zusätzlich ist zu prüfen, ob D für ein zulässiges a in der Ebene ABC liegt.
1. Berechne das Volumen des Tetraeders in Abhängigkeit von a und bestimme a so, dass V = 2 m³ gilt.
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Mit A als Bezugspunkt: AB = (−1,2,0), AC = (−1,0,a), AD = (0,1,1). Das Spatprodukt det(AB,AC,AD) = (−1)·(0·1 − a·1) − 2·((−1)·1 − a·0) + 0 = a + 2. Also V(a) = |a + 2|/6. Für a > 0 ist a + 2 > 0, daher V = (a + 2)/6. Setze (a + 2)/6 = 2 ⇒ a + 2 = 12 ⇒ a = 10. Das ist der einzige Wert, der ohne Nebenbedingung V = 2 liefert. Wegen der Statikvorgabe a ≤ 5 ist a = 10 jedoch nicht zulässig; die Lösung ist mathematisch korrekt, aber im Sachkontext unbrauchbar.
2. Bestimme das maximale Volumen unter a ≤ 5 und beurteile die Rechnung des Praktikanten.
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V(a) = (a + 2)/6 ist für a > 0 streng monoton wachsend, weil die Ableitung 1/6 > 0 ist. Auf 0 < a ≤ 5 wird das Maximum am Rand a = 5 erreicht: V(5) = 7/6 ≈ 1,167 m³. Ein Volumen von 2 m³ ist unter der Nebenbedingung also nicht realisierbar. Der Praktikant hat die Nebenbedingung ignoriert; sein Ergebnis a = 10 verletzt die zulässige Höhe und ist daher nicht verwendbar. Richtig wäre die Aussage: Das größte zulässige Volumen beträgt etwa 1,17 m³; für 2 m³ müsste die Konstruktion geändert werden, etwa indem a erhöht oder die Grundfläche vergrößert wird. Die Monotonie begründet, warum kein inneres Maximum vorliegt.
3. Prüfe, ob der Punkt D für ein zulässiges a in der Ebene ABC liegt, und interpretiere das Ergebnis.
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D liegt genau dann in der Ebene ABC, wenn AB, AC und AD linear abhängig sind, also det(AB,AC,AD) = 0. Nach der Rechnung oben ist det = a + 2. Damit wäre a = −2 nötig. Dieser Wert ist wegen a > 0 nicht zulässig und beschreibt außerdem ein entartetes Tetraeder mit Volumen null. Für jedes zulässige a > 0 ist die Determinante positiv; D liegt also nie in der Ebene ABC, und das Tetraeder ist nicht entartet. Das ist für die Statik günstig, weil ein echtes dreidimensionales Zelt vorliegt. Gleichzeitig zeigt es, dass die Forderung „D in der Ebene“ nicht durch eine zulässige Höhe erfüllt werden kann; sie wäre nur mit einer anderen Koordinate von D möglich.