Defektanteil eines Zulieferers
Ein Zulieferer behauptet, höchstens 5 % seiner Bauteile seien defekt. Ein Abnehmer entnimmt 200 Bauteile und findet 16 defekte. Er will die Behauptung des Zulieferers mit einem Signifikanztest prüfen. Die Testgröße X ist die Anzahl defekter Teile in der Stichprobe; unter der Nullhypothese H0: p ≤ 0,05 wird X binomialverteilt mit n = 200 angenommen. Der Abnehmer schwankt zwischen einem Signifikanzniveau von 5 % und 1 %. Bei Ablehnung von H0 will er den Vertrag kündigen; bei Nichtablehnung will er die Lieferung akzeptieren. Ein Kollege argumentiert, man solle das Niveau möglichst klein wählen, damit man den Zulieferer nicht zu Unrecht beschuldigt. Ein anderer warnt, dann würden zu viele defekte Lieferungen durchgehen. Die Geschäftsführung möchte eine begründete Entscheidung und eine Einschätzung der Fehlerrisiken.
1. Formuliere die Hypothesen, bestimme den Ablehnungsbereich für α = 5 % und entscheide.
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H0: p ≤ 0,05 (Zulieferer ok) gegen H1: p > 0,05 (Defektanteil zu hoch); X = Anzahl defekter Teile ~ Bin(200; p). Unter H0 ist der ungünstigste Fall p = 0,05, Erwartungswert 10, Standardabweichung √(200·0,05·0,95) = √9,5 ≈ 3,08. Gesucht ist das kleinste k mit P(X ≥ k) ≤ 0,05. Mit Normalapproximation und Stetigkeitskorrektur: P(X ≥ k) ≈ 1 − Φ((k − 0,5 − 10)/3,08). Für k = 16: z = (15,5 − 10)/3,08 ≈ 1,78, Tail ≈ 0,037 ≤ 0,05; für k = 15 wäre der Tail ≈ 0,072 > 0,05. Also Ablehnungsbereich {16,…,200}. Beobachtet sind 16 defekte Teile; 16 liegt im Ablehnungsbereich, H0 wird bei α = 5 % abgelehnt. Der Abnehmer hat statistisch signifikante Evidenz, dass der Defektanteil über 5 % liegt.
2. Erläutere Fehler 1. und 2. Art im Sachkontext und beurteile die Konsequenzen.
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Fehler 1. Art: H0 wird abgelehnt, obwohl p ≤ 0,05 gilt; der Zulieferer wäre zu Unrecht beschuldigt, der Vertrag würde möglicherweise grundlos gekündigt. Die Wahrscheinlichkeit ist durch α = 5 % begrenzt (unter p = 0,05). Fehler 2. Art: H0 wird nicht abgelehnt, obwohl p > 0,05 gilt; eine zu schlechte Lieferung würde akzeptiert, defekte Bauteile kämen in die Produktion. Dieses Risiko hängt vom tatsächlichen p ab und kann bei α = 5 % und n = 200 beträchtlich sein. Beispiel: Ist p = 0,10, so ist X ≈ Bin(200; 0,10) mit Erwartungswert 20 und SD ≈ 4,24; P(X ≤ 15) ≈ 0,15, also etwa 15 % Wahrscheinlichkeit, die schlechte Lieferung nicht zu erkennen. Die Kosten der beiden Fehler sind asymmetrisch: Ein zu Unrecht gekündigter Vertrag kann teuer sein, aber eine akzeptierte schlechte Lieferung kann Produktionsausfälle verursachen. Die Wahl von α sollte diese Kosten abbilden, nicht nur das Bestreben, den Zulieferer zu schonen.
3. Untersuche, wie sich die Entscheidung bei α = 1 % ändert, und beurteile die Argumentation der beiden Kollegen.
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Für α = 1 % ist das kleinste k mit P(X ≥ k) ≤ 0,01 gesucht. Normalapproximation: z_(0,99) ≈ 2,326; k ≈ 10 + 2,326·3,08 + 0,5 ≈ 17,7, also k = 18. Ablehnungsbereich {18,…,200}. Der beobachtete Wert 16 liegt dann nicht mehr im Ablehnungsbereich; H0 wird nicht abgelehnt. Der erste Kollege hat insofern recht, als ein kleineres α die Wahrscheinlichkeit eines ungerechtfertigten Vorwurfs senkt. Der zweite Kollege hat aber ebenfalls recht: Das Risiko, eine schlechte Lieferung durchzulassen, steigt. Bei p = 0,10 und α = 1 % ist P(X ≤ 17) ≈ 0,28, also etwa 28 % statt 15 % bei α = 5 %. Ein α = 1 % ist daher nur dann sinnvoll, wenn die Kosten eines falschen Vorwurfs deutlich höher sind als die Kosten einer übersehenen schlechten Lieferung. Will man beide Risiken senken, hilft eher eine größere Stichprobe als die alleinige Verschiebung von α.