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Bremen Abitur Math LK practice questions

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First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

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Question 1Analysis (Leistungskurs)

Gegeben ist f(x) = x³ − 3x. An welcher Stelle besitzt der Graph von f eine waagerechte Tangente?

  1. bei x = 0 und x = 3
  2. bei x = −1 und x = 1 Correct answer.
  3. nur bei x = 0
  4. bei x = −3 und x = 3

Explanation

Eine waagerechte Tangente liegt vor, wenn f′(x) = 0 gilt. Hier ist f′(x) = 3x² − 3, und die Gleichung 3x² − 3 = 0 führt auf x² = 1, also x = ±1. Damit sind genau die beiden Stellen x = −1 und x = 1 die gesuchten Extremstellen.

Question 2Analysis (Leistungskurs)

Welche Stammfunktion F besitzt die Funktion f(x) = 4x³ + 2x?

  1. F(x) = x⁴ + x² + 5 Correct answer.
  2. F(x) = 12x² + 2
  3. F(x) = 4x⁴ + x²
  4. F(x) = x⁴ + 2x²

Explanation

Beim Aufleiten erhöht sich der Exponent jeweils um eins und der alte Exponent wird zum Nenner. Aus 4x³ wird x⁴, aus 2x wird x², und eine additive Konstante verschwindet beim Ableiten. Daher ist jede Funktion der Form x⁴ + x² + C eine Stammfunktion, und F(x) = x⁴ + x² + 5 ist ein gültiges Beispiel.

Question 3Analysis (Leistungskurs)

Was beschreibt der Ausdruck f′(x₀) anschaulich im Kontext einer Funktion f?

  1. die mittlere Änderungsrate über das Intervall [0; x₀]
  2. die Fläche zwischen Graph und x-Achse von 0 bis x₀
  3. die Steigung der Tangente an den Graphen von f an der Stelle x₀ Correct answer.
  4. den Funktionswert von f an der Stelle x₀

Explanation

Die Ableitung an einer Stelle ist der Grenzwert des Differenzenquotienten und damit die lokale Änderungsrate. Geometrisch entspricht sie der Steigung der Tangente im Punkt (x₀ | f(x₀)). Sie sagt also, wie steil der Graph dort gerade ansteigt oder abfällt.

Question 4Analysis (Leistungskurs)

Für eine Funktion f gilt: f ist auf ℝ definiert, f′(x) > 0 für alle x < 2 und f′(x) < 0 für alle x > 2. Welche Aussage über f ist damit zwingend richtig?

  1. f hat bei x = 2 eine Nullstelle
  2. f besitzt bei x = 2 ein lokales Minimum
  3. f ist auf (−∞; 2) streng monoton wachsend und auf (2; ∞) streng monoton fallend Correct answer.
  4. f ist auf ganz ℝ streng monoton wachsend

Explanation

Das Vorzeichen der Ableitung bestimmt das Monotonieverhalten: positives f′ bedeutet wachsende, negatives f′ fallende Funktion. Aus den Voraussetzungen folgt also Wachstum links von 2 und Fallen rechts von 2. Damit liegt bei x = 2 ein lokales Maximum vor, nicht ein Minimum.

Question 5Analysis (Leistungskurs)

Berechne das bestimmte Integral ∫₀² (3x² + 1) dx.

  1. 10 Correct answer.
  2. 6
  3. 12
  4. 8

Explanation

Eine Stammfunktion ist F(x) = x³ + x. Damit ergibt sich F(2) − F(0) = (8 + 2) − 0 = 10. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verbindet dabei Ableitung und Integral.

Question 6Analysis (Leistungskurs)

Die Funktion f(x) = e^(2x) wird betrachtet. Welche Aussage über ihre Ableitung ist korrekt?

  1. f′(x) = 2·e^(2x) Correct answer.
  2. f′(x) = e^(2x)/2
  3. f′(x) = e^(2x)
  4. f′(x) = 2x·e^(2x)

Explanation

Bei der Verkettung u(v(x)) = e^(2x) mit innerer Funktion v(x) = 2x greift die Kettenregel. Die äußere Ableitung der e-Funktion ist wieder e^(2x), multipliziert mit der inneren Ableitung 2. Daher gilt f′(x) = 2·e^(2x).

Question 7Analysis (Leistungskurs)

Eine Funktion f hat an der Stelle x₀ eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von − nach +. Welche Aussage ist dann korrekt?

  1. Der Graph berührt die x-Achse bei x₀, ohne sie zu durchdringen
  2. f′(x₀) muss positiv sein
  3. f hat bei x₀ ein lokales Maximum
  4. Der Graph schneidet die x-Achse bei x₀ und wechselt dort vom negativen in den positiven Bereich Correct answer.

Explanation

Ein Vorzeichenwechsel von negativen zu positiven Funktionswerten bedeutet, dass der Graph die x-Achse durchquert. Links von x₀ liegt er unterhalb, rechts oberhalb der x-Achse. Damit handelt es sich um einen einfachen Achsenschnittpunkt, nicht um einen Berührpunkt.

Question 8Analysis (Leistungskurs)

Gegeben ist g(x) = ln(x) für x > 0. Welche Ableitung ist richtig?

  1. g′(x) = 1/x Correct answer.
  2. g′(x) = ln(x)/x
  3. g′(x) = e^x
  4. g′(x) = x

Explanation

Die natürliche Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der e-Funktion, und ihre Ableitung ist 1/x für x > 0. Das folgt auch aus der Umkehrregel, denn die Ableitung von e^y ist e^y, und der Kehrwert ist 1/e^y = 1/x.

Question 9Analysis (Leistungskurs)

Eine ganzrationale Funktion f hat die Ableitung f′(x) = (x − 1)²·(x + 3). An welcher Stelle liegt ein Vorzeichenwechsel der Ableitung und damit eine Extremstelle?

  1. bei x = 0
  2. bei x = −1
  3. bei x = −3 Correct answer.
  4. bei x = 1

Explanation

Der Faktor (x − 1)² ist nie negativ und ändert sein Vorzeichen nicht; bei x = 1 liegt also kein Vorzeichenwechsel von f′ vor. Der Faktor (x + 3) wechselt bei x = −3 von negativ nach positiv. Damit hat f′ dort einen Vorzeichenwechsel, und f besitzt an dieser Stelle ein Extremum, genauer ein Minimum.

Question 10Analysis (Leistungskurs)

Welchen Wert hat der Grenzwert lim(x→0) (sin(x))/x?

  1. unendlich
  2. nicht definiert
  3. 0
  4. 1 Correct answer.

Explanation

Der Grenzwert lim(x→0) sin(x)/x ist ein fundamentaler Grenzwert der Analysis und beträgt 1. Anschaulich nähert sich der Sinus für kleine Winkel dem Bogenmaß des Winkels an, sodass der Quotient gegen 1 strebt. Dieser Grenzwert begründet unter anderem die Ableitung des Sinus.

Question 11Analysis (Leistungskurs)

Die Funktion f(x) = x·e^(−x) ist für x ≥ 0 definiert. Wie verhält sich f für x → ∞?

  1. f(x) → 1
  2. f(x) → 0, und zwar von positiven Werten her Correct answer.
  3. f(x) → ∞
  4. f(x) → −∞

Explanation

Für große x wächst die Exponentialfunktion e^(−x) schneller gegen 0, als der Faktor x ansteigt. Deshalb dominiert der exponentielle Abfall, und der Grenzwert ist 0. Da beide Faktoren für x > 0 positiv sind, nähert sich f der Null von oben.

Question 12Analysis (Leistungskurs)

Welche der folgenden Funktionen ist eine gerade Funktion?

  1. h(x) = x²·cos(x) Correct answer.
  2. h(x) = sin(x)
  3. h(x) = e^x
  4. h(x) = x³ + x

Explanation

Eine Funktion heißt gerade, wenn h(−x) = h(x) für alle x im Definitionsbereich gilt. Das Produkt x²·cos(x) erfüllt dies, denn (−x)² = x² und cos(−x) = cos(x). Damit ist h achsensymmetrisch zur y-Achse.

Question 13Analysis (Leistungskurs)

Eine Funktion f besitzt an der Stelle x₀ = 2 die erste Ableitung f′(2) = 0 und die zweite Ableitung f″(2) = −4. Welche Schlussfolgerung ist korrekt?

  1. Der Graph von f hat bei x = 2 ein lokales Minimum
  2. Der Graph von f hat bei x = 2 einen Wendepunkt
  3. Der Graph von f hat bei x = 2 ein lokales Maximum Correct answer.
  4. Der Graph von f hat bei x = 2 einen Sattelpunkt

Explanation

Aus f′(2) = 0 folgt eine waagerechte Tangente, also eine mögliche Extremstelle. Da zusätzlich f″(2) < 0 gilt, ist der Graph dort rechtsgekrümmt, und es liegt ein lokales Maximum vor. Das hinreichende Kriterium über die zweite Ableitung bestätigt dies.

Question 14Analysis (Leistungskurs)

Berechne den Wert des Integrals ∫₁^e (1/x) dx.

  1. e − 1
  2. e
  3. 1 Correct answer.
  4. 1/e

Explanation

Eine Stammfunktion von 1/x ist ln(x). Damit ergibt sich das Integral als ln(e) − ln(1) = 1 − 0 = 1. Das Ergebnis ist unabhängig von der Basis, sofern der natürliche Logarithmus verwendet wird.

Question 15Analysis (Leistungskurs)

Welche Aussage beschreibt das Verhalten einer Funktion f, wenn f″(x) > 0 auf einem Intervall I gilt?

  1. f ist auf I konstant
  2. f besitzt auf I keine Wendestelle, weil f′ konstant ist
  3. Der Graph von f ist auf I rechtsgekrümmt, und f′ ist dort streng monoton fallend
  4. Der Graph von f ist auf I linksgekrümmt, und f′ ist dort streng monoton wachsend Correct answer.

Explanation

Die zweite Ableitung beschreibt die Krümmung: f″(x) > 0 bedeutet Linkskrümmung, der Graph liegt also über seinen Tangenten. Gleichzeitig ist f′ die Ableitung von f′, und positives f″ zeigt, dass f′ wächst. Beide Aussagen sind äquivalent.

Question 16Analysis (Leistungskurs)

Gegeben ist die Funktion f(x) = x²·e^x. Welche Ableitung ist korrekt?

  1. f′(x) = 2x·e^x
  2. f′(x) = (x² + 2x)·e^x Correct answer.
  3. f′(x) = x²·e^x
  4. f′(x) = (2x + 1)·e^x

Explanation

Mit der Produktregel (u·v)′ = u′·v + u·v′ setzt man u = x² und v = e^x. Dann ist u′ = 2x und v′ = e^x, also f′(x) = 2x·e^x + x²·e^x = (x² + 2x)·e^x. Der gemeinsame Faktor e^x kann ausgeklammert werden.

Question 17Analysis (Leistungskurs)

Für eine Funktion f gilt f(0) = 3 und f′(x) = 2 für alle x. Welche Funktionsgleichung passt zu diesen Angaben?

  1. f(x) = 2x + 3 Correct answer.
  2. f(x) = 3x + 2
  3. f(x) = 2x² + 3
  4. f(x) = 3·e^(2x)

Explanation

Eine konstante Ableitung f′(x) = 2 bedeutet, dass f eine lineare Funktion mit Steigung 2 ist, also f(x) = 2x + c. Aus f(0) = 3 folgt c = 3, denn der y-Achsenabschnitt ist der Funktionswert an der Stelle 0. Damit lautet die Gleichung f(x) = 2x + 3.

Question 18Analysis (Leistungskurs)

Ein Körper bewegt sich geradlinig, seine Position zum Zeitpunkt t ist s(t) = t³ − 6t² + 9t (in Metern, t in Sekunden). Zu welchem Zeitpunkt ist die Geschwindigkeit erstmals null?

  1. bei t = 2 s
  2. bei t = 1 s Correct answer.
  3. bei t = 3 s
  4. bei t = 0 s

Explanation

Die Geschwindigkeit ist die Ableitung der Position, also v(t) = s′(t) = 3t² − 12t + 9. Die Gleichung 3t² − 12t + 9 = 0 wird zu t² − 4t + 3 = 0, also (t − 1)(t − 3) = 0. Die erste Nullstelle liegt bei t = 1 s, die zweite bei t = 3 s.

Question 19Analysis (Leistungskurs)

Welche Aussage über die Funktion f(x) = x⁴ ist korrekt?

  1. f hat bei x = 0 einen Wendepunkt
  2. f hat bei x = 0 ein lokales Maximum
  3. f ist auf ganz ℝ streng monoton fallend
  4. f hat bei x = 0 ein globales Minimum, und der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse Correct answer.

Explanation

Die vierte Potenz ist stets nichtnegativ und wird nur bei x = 0 null, sodass dort ein globales Minimum vorliegt. Wegen (−x)⁴ = x⁴ ist die Funktion gerade und damit achsensymmetrisch zur y-Achse. Beide Eigenschaften lassen sich direkt aus dem Funktionsterm ablesen.

Question 20Analysis (Leistungskurs)

Welcher Ausdruck gibt den Flächeninhalt der Fläche an, die der Graph von f(x) = x² im Intervall [0; 2] mit der x-Achse einschließt?

  1. f′(2) − f′(0)
  2. 2·f(2)
  3. ∫₀² (x²)² dx
  4. ∫₀² x² dx Correct answer.

Explanation

Der Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse über einem Intervall wird durch das bestimmte Integral der Funktion über dieses Intervall beschrieben. Da f im Intervall [0; 2] nichtnegativ ist, stimmt der Integralwert mit dem Flächeninhalt überein. Der Wert beträgt hier 8/3.

Question 21Analysis (Leistungskurs)

Die Funktion f(x) = (x − 2)³ wird betrachtet. Welche Aussage über den Punkt (2 | 0) ist korrekt?

  1. Es ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente, an dem ein Extremum vorliegt
  2. Es ist ein Sattelpunkt, denn f′(2) = 0 und f″(2) = 0, aber f′ wechselt bei x = 2 nicht das Vorzeichen Correct answer.
  3. Es ist ein lokales Minimum, denn f′(2) = 0
  4. Es ist ein lokales Maximum, denn f″(2) = 0

Explanation

Hier ist f′(x) = 3(x − 2)² und f″(x) = 6(x − 2), also f′(2) = 0 und f″(2) = 0. Der Faktor (x − 2)² ist stets nichtnegativ, sodass f′ bei x = 2 das Vorzeichen nicht wechselt. Damit liegt kein Extremum, sondern ein Sattelpunkt mit waagerechter Tangente vor.

Question 22Analysis (Leistungskurs)

Wie lautet die Ableitung von k(x) = sin(3x)?

  1. k′(x) = 3·sin(3x)
  2. k′(x) = 3·cos(3x) Correct answer.
  3. k′(x) = −3·sin(3x)
  4. k′(x) = cos(3x)

Explanation

Die Funktion ist eine Verkettung mit innerer Funktion 3x, deren Ableitung 3 ist. Die äußere Ableitung des Sinus ist der Kosinus, ausgewertet an der inneren Stelle 3x. Nach der Kettenregel ergibt sich k′(x) = 3·cos(3x).

Question 23Analysis (Leistungskurs)

Eine Funktion f ist auf ℝ definiert und stetig. Es gilt ∫₀³ f(x) dx = 10 und ∫₀¹ f(x) dx = 4. Welchen Wert hat ∫₁³ f(x) dx?

  1. 6 Correct answer.
  2. 10
  3. 4
  4. 14

Explanation

Das Integral ist additiv über Intervallgrenzen: ∫₀³ f = ∫₀¹ f + ∫₁³ f. Setzt man die bekannten Werte ein, so erhält man 10 = 4 + ∫₁³ f. Daraus folgt ∫₁³ f(x) dx = 6.

Question 24Analysis (Leistungskurs)

Welche Funktion hat die Ableitung f′(x) = 6x² − 4x und erfüllt f(1) = 2?

  1. f(x) = 6x³ − 4x² + 2
  2. f(x) = 2x³ − 4x² + 4
  3. f(x) = 2x³ − 2x² + 2 Correct answer.
  4. f(x) = 2x³ − 2x²

Explanation

Eine Stammfunktion von 6x² − 4x ist 2x³ − 2x² + C. Die Bedingung f(1) = 2 liefert 2 − 2 + C = 2, also C = 2. Damit ist f(x) = 2x³ − 2x² + 2 die gesuchte Funktion.

Question 25Analysis (Leistungskurs)

Welche Aussage über die Umkehrfunktion von f(x) = e^x ist korrekt?

  1. Sie ist 1/e^x, also der Kehrwert der e-Funktion
  2. Sie ist der natürliche Logarithmus ln(x) mit Definitionsbereich x > 0 Correct answer.
  3. Sie ist ln(−x) mit Definitionsbereich x < 0
  4. Sie ist ebenfalls e^x, weil die e-Funktion selbstinvers ist

Explanation

Die e-Funktion ist auf ℝ streng monoton wachsend und bildet auf (0; ∞) ab. Ihre Umkehrfunktion ist der natürliche Logarithmus, definiert für positive Argumente. Es gilt ln(e^x) = x und e^(ln(x)) = x für x > 0.

Question 26Analysis (Leistungskurs)

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = (x − 1)·e^(−x). Wie lautet der Term der ersten Ableitung f′(x)?

  1. f′(x) = −x·e^(−x)
  2. f′(x) = (2 − x)·e^(−x) Correct answer.
  3. f′(x) = (x − 2)·e^(−x)
  4. f′(x) = e^(−x)

Explanation

Nach der Produktregel gilt f′(x) = 1·e^(−x) + (x − 1)·(−e^(−x)). Ausklammern von e^(−x) liefert 1 − (x − 1) = 2 − x, also f′(x) = (2 − x)·e^(−x).

Question 27Analysis (Leistungskurs)

Die Funktion f mit f(x) = x³ − 3x² ist gegeben. An welcher Stelle liegt ein Wendepunkt des Graphen?

  1. x = 0
  2. x = 2
  3. x = 1 Correct answer.
  4. x = 3

Explanation

Wendepunkte erfordern f″(x) = 0 mit Vorzeichenwechsel. Hier ist f′(x) = 3x² − 6x und f″(x) = 6x − 6, also f″(x) = 0 genau bei x = 1. Da f″ dort das Vorzeichen wechselt, liegt ein Wendepunkt vor.

Question 28Analysis (Leistungskurs)

Welchen Wert hat das bestimmte Integral ∫₀^(π/2) cos(x) dx?

  1. 1 Correct answer.
  2. −1
  3. π/2
  4. 0

Explanation

Eine Stammfunktion von cos(x) ist sin(x). Damit ergibt sich sin(π/2) − sin(0) = 1 − 0 = 1. Der Flächeninhalt unter dem Kosinus über einer Viertelperiode beträgt also 1.

Question 29Analysis (Leistungskurs)

Eine Funktion f ist auf ℝ definiert und gerade. Welche Eigenschaft besitzt dann der Graph von f zwingend?

  1. Er ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
  2. Er ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Correct answer.
  3. Er besitzt eine waagerechte Asymptote.
  4. Er schneidet die x-Achse in mindestens zwei Punkten.

Explanation

Gerade Funktionen erfüllen f(−x) = f(x) für alle x aus dem Definitionsbereich. Daraus folgt die Spiegelsymmetrie des Graphen bezüglich der y-Achse.

Question 30Analysis (Leistungskurs)

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = ln(2x + 1) für x > −1/2. Wie lautet f′(x)?

  1. f′(x) = 1/(x + 1)
  2. f′(x) = 2·ln(2x + 1)
  3. f′(x) = 2/(2x + 1) Correct answer.
  4. f′(x) = 1/(2x + 1)

Explanation

Nach der Kettenregel ist die Ableitung des Logarithmus einer inneren Funktion u gleich u′/u. Mit u(x) = 2x + 1 und u′(x) = 2 folgt f′(x) = 2/(2x + 1).

Question 31Analysis (Leistungskurs)

Für eine Funktion f gilt lim(x→∞) f(x) = 3 und lim(x→−∞) f(x) = 3. Welche Aussage über den Graphen ist korrekt?

  1. Der Graph besitzt die waagerechte Asymptote y = 3. Correct answer.
  2. Der Graph besitzt die senkrechte Asymptote x = 3.
  3. Der Graph besitzt die schiefe Asymptote y = 3x.
  4. Der Graph hat an der Stelle x = 3 eine Definitionslücke.

Explanation

Strebt eine Funktion für x gegen unendlich und gegen minus unendlich gegen denselben endlichen Wert c, so ist y = c eine waagerechte Asymptote. Hier ist c = 3.

Question 32Analysis (Leistungskurs)

Die Funktion f mit f(x) = x² − 4x + 7 soll auf Extremstellen untersucht werden. Welcher Punkt ist ein Tiefpunkt des Graphen?

  1. (0 | 7)
  2. (2 | 11)
  3. (4 | 7)
  4. (2 | 3) Correct answer.

Explanation

Aus f′(x) = 2x − 4 = 0 folgt x = 2. Wegen f″(x) = 2 > 0 liegt dort ein Tiefpunkt vor, und f(2) = 4 − 8 + 7 = 3. Der Tiefpunkt ist also (2 | 3).

Question 33Analysis (Leistungskurs)

Eine Funktion f hat im Intervall [1; 4] die Ableitung f′(x) = 3. Außerdem gilt f(1) = 5. Welchen Wert hat f(4)?

  1. 12
  2. 14 Correct answer.
  3. 8
  4. 17

Explanation

Nach dem Hauptsatz gilt f(4) − f(1) = ∫₁⁴ 3 dx = 3·(4 − 1) = 9. Mit f(1) = 5 folgt f(4) = 5 + 9 = 14.

Question 34Analysis (Leistungskurs)

Wie lautet der Grenzwert lim(x→0) (e^(2x) − 1)/x?

  1. 1
  2. 2 Correct answer.
  3. e²
  4. 0

Explanation

Mit der Regel von de l'Hospital oder der Reihenentwicklung e^(2x) = 1 + 2x + … ergibt sich der Grenzwert als Ableitung des Zählers an der Stelle 0, also 2e⁰ = 2.

Question 35Analysis (Leistungskurs)

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x·sin(x). Wie lautet f′(x)?

  1. f′(x) = sin(x) + x·cos(x) Correct answer.
  2. f′(x) = x·cos(x)
  3. f′(x) = cos(x)
  4. f′(x) = sin(x) + cos(x)

Explanation

Die Produktregel liefert f′(x) = 1·sin(x) + x·cos(x). Beide Summanden müssen berücksichtigt werden, da beide Faktoren von x abhängen.

Question 36Analysis (Leistungskurs)

Die Funktion f mit f(x) = x³ − 3x ist gegeben. In welchem Bereich ist der Graph rechtsgekrümmt (konkav)?

  1. für alle x
  2. für x > 1
  3. für x < 0 Correct answer.
  4. für x > 0

Explanation

Die Krümmung wird durch f″(x) = 6x bestimmt. Rechtskrümmung liegt vor, wenn f″(x) < 0 gilt, also für x < 0.

Question 37Analysis (Leistungskurs)

Welche Stammfunktion F gehört zur Funktion f(x) = 3x² + 2x?

  1. F(x) = 6x + 2
  2. F(x) = x³ + x²
  3. F(x) = x³ + 2x²
  4. F(x) = x³ + x² + 4 Correct answer.

Explanation

Jede Stammfunktion hat die Form F(x) = x³ + x² + C, denn die Ableitung von x³ + x² ist 3x² + 2x. Auch F(x) = x³ + x² + 4 ist wegen C = 4 eine gültige Stammfunktion.

Question 38Analysis (Leistungskurs)

Eine Funktion f ist auf ℝ definiert und differenzierbar. Es gilt f′(x) > 0 für alle x. Welche Aussage ist dann zwingend richtig?

  1. Der Graph von f ist eine Gerade.
  2. f ist auf ℝ beschränkt.
  3. f ist auf ℝ streng monoton steigend. Correct answer.
  4. f besitzt mindestens eine Nullstelle.

Explanation

Eine überall positive Ableitung bedeutet, dass die Steigung des Graphen stets positiv ist. Damit ist f auf ganz ℝ streng monoton wachsend.

Question 39Analysis (Leistungskurs)

Wie verhält sich die Funktion f mit f(x) = (x² + 1)/(x − 1) an der Stelle x = 1?

  1. Der Graph hat dort eine Nullstelle.
  2. Der Graph hat dort einen Wendepunkt.
  3. Der Graph hat dort eine hebbare Definitionslücke.
  4. Der Graph besitzt dort eine senkrechte Asymptote. Correct answer.

Explanation

Der Nenner wird bei x = 1 null, der Zähler ist dort 2, also nicht null. Der Grenzwert strebt daher gegen unendlich, und es liegt eine Polstelle mit senkrechter Asymptote vor.

Question 40Analysis (Leistungskurs)

Die Funktion f mit f(x) = sin(2x) ist gegeben. Welche Aussage über ihre Periode ist korrekt?

  1. Die Periode beträgt 4π.
  2. Die Periode beträgt π/2.
  3. Die Periode beträgt π. Correct answer.
  4. Die Periode beträgt 2π.

Explanation

Für f(x) = sin(bx) gilt die Periode 2π/|b|. Mit b = 2 ergibt sich 2π/2 = π.

Question 41Analysis (Leistungskurs)

Die Funktion f mit f(x) = x⁴ − 2x² hat die Ableitung f′(x) = 4x³ − 4x. Wie viele Extremstellen besitzt f?

  1. genau vier
  2. genau drei Correct answer.
  3. genau eine
  4. genau zwei

Explanation

Aus 4x³ − 4x = 0 folgt 4x(x² − 1) = 0, also x = 0, x = 1 oder x = −1. Da f′ an jeder dieser Stellen das Vorzeichen wechselt, liegen drei Extremstellen vor.

Question 42Analysis (Leistungskurs)

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = e^(−x²). Welche Aussage über ihre Ableitung ist korrekt?

  1. f′(x) = −e^(−x²)
  2. f′(x) = e^(−x²)
  3. f′(x) = 2x·e^(−x²)
  4. f′(x) = −2x·e^(−x²) Correct answer.

Explanation

Mit der Kettenregel ist die Ableitung der äußeren Exponentialfunktion e^u gleich e^u, multipliziert mit der inneren Ableitung u′ = −2x. Damit folgt f′(x) = −2x·e^(−x²).

Question 43Analysis (Leistungskurs)

Für eine Funktion f gilt ∫₀² f(x) dx = 6 und f ist auf [0; 2] punktsymmetrisch zum Punkt (1 | 0). Welchen Wert hat ∫₀¹ f(x) dx?

  1. 12
  2. 6
  3. 0
  4. 3 Correct answer.

Explanation

Punktsymmetrie zum Punkt (1 | 0) bedeutet f(1 + t) = −f(1 − t). Die Flächenanteile links und rechts von x = 1 heben sich im Integral über [0; 2] nicht auf, sondern sind gleich groß mit gleichem Vorzeichen der Fläche; das Gesamtintegral ist die Summe zweier gleicher Teile, also ist jeder Teil 3.

Question 44Analysis (Leistungskurs)

Welche Aussage über die Funktion f mit f(x) = |x| an der Stelle x = 0 ist korrekt?

  1. f ist dort differenzierbar mit f′(0) = 0.
  2. f ist dort stetig, aber nicht differenzierbar. Correct answer.
  3. f ist dort nicht stetig.
  4. f hat dort eine Polstelle.

Explanation

Der Betrag ist an der Stelle 0 stetig, denn der Grenzwert stimmt mit dem Funktionswert 0 überein. Die linksseitige Ableitung ist −1, die rechtsseitige +1; da beide nicht übereinstimmen, existiert f′(0) nicht.

Question 45Analysis (Leistungskurs)

Eine Funktion f besitzt die Ableitung f′(x) = x² + 1. Welche Aussage über f ist korrekt?

  1. f hat genau zwei Extremstellen.
  2. f hat keine Extremstelle. Correct answer.
  3. f hat genau eine Extremstelle.
  4. f hat unendlich viele Extremstellen.

Explanation

Die Ableitung x² + 1 ist für alle reellen x mindestens 1 und daher nie null. Notwendige Bedingung für eine Extremstelle ist f′(x) = 0, die hier nicht erfüllt werden kann.

Question 46Analysis (Leistungskurs)

Die Funktion f mit f(x) = x·ln(x) ist für x > 0 definiert. Wie lautet f′(x)?

  1. f′(x) = ln(x) + 1 Correct answer.
  2. f′(x) = ln(x)
  3. f′(x) = 1
  4. f′(x) = x + ln(x)

Explanation

Nach der Produktregel ist f′(x) = 1·ln(x) + x·(1/x) = ln(x) + 1. Der zweite Summand entsteht aus der Ableitung des Logarithmus.

Question 47Analysis (Leistungskurs)

Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat die Nullstellen x = −1, x = 2 und x = 4. Welche Aussage über ihren Graphen ist zwingend richtig?

  1. Der Graph schneidet die x-Achse in drei Punkten. Correct answer.
  2. Der Graph hat keine Extremstellen.
  3. Der Graph hat genau zwei Wendepunkte.
  4. Der Graph berührt die x-Achse bei x = 2.

Explanation

Da drei verschiedene Nullstellen vorliegen und der Grad drei ist, sind alle drei Nullstellen einfach. Der Graph schneidet die x-Achse daher in allen drei Punkten.

Question 48Analysis (Leistungskurs)

Die Funktion f mit f(x) = 1/x² ist für x ≠ 0 definiert. Welche Aussage über ihr Verhalten für x → 0 ist korrekt?

  1. f(x) strebt gegen unendlich. Correct answer.
  2. f(x) strebt gegen minus unendlich.
  3. f(x) strebt gegen 1.
  4. f(x) strebt gegen 0.

Explanation

Für x gegen 0 wird x² beliebig klein und positiv, der Kehrwert 1/x² daher beliebig groß. Der Grenzwert ist also unendlich, es liegt eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor.

Question 49Analysis (Leistungskurs)

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x³ − 6x² + 9x. An welcher Stelle liegt ein lokaler Hochpunkt?

  1. x = 3
  2. x = 1 Correct answer.
  3. x = 2
  4. x = 0

Explanation

Aus f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3) folgen die kritischen Stellen 1 und 3. Wegen f″(x) = 6x − 12 ist f″(1) = −6 < 0, also liegt bei x = 1 ein Hochpunkt vor.

Question 50Analysis (Leistungskurs)

Welchen Wert hat der Grenzwert lim(x→∞) (3x² + 2x)/(x² − 1)?

  1. 2
  2. 0
  3. 3 Correct answer.
  4. unendlich

Explanation

Bei rationalen Funktionen mit gleichem Zählergrad und Nennergrad ist der Grenzwert für x gegen unendlich das Verhältnis der Koeffizienten der höchsten Potenzen. Hier ist das 3/1 = 3.