Analysis (Leistungskurs)
Analysis (Leistungskurs)
Der Bereich Analysis prüft im Bremer LK Funktionsuntersuchungen an Exponential-, Logarithmus- und gebrochenrationalen Funktionen, die Deutung von Ableitung und Integral im Sachkontext sowie Flächenberechnungen. Häufig steht eine Schar wie f_t(x) = (x − t)·e^(−x) im Zentrum, an der Extrema, Wendepunkte, Ortskurve und Flächeninhalt in einem Aufgabensatz bearbeitet werden; im hilfsmittelfreien Teil sind Ableitungen und einfache Integrale ohne CAS zu bilden.
Ableiten und Untersuchen
- Kettenregel: (e^(u(x)))′ = u′(x)·e^(u(x)); (ln u)′ = u′/u.
- Produktregel: (u·v)′ = u′v + uv′.
- Extremstellen: notwendig f′(x) = 0, hinreichend f″(x) ≠ 0 oder Vorzeichenwechsel von f′; bei f″(x) = 0 ist der Vorzeichenwechsel zwingend zu prüfen.
- Wendestelle: f″(x) = 0 und f‴(x) ≠ 0.
- Da e^(−x) für alle x positiv ist, entscheidet allein der polynomiale Faktor über die Nullstellen von f′.
Integrieren
- Hauptsatz: Flächeninhalt über [a;b] ist ∫ f(x) dx, bei Verlauf unter der x-Achse mit Betrag.
- Fläche zwischen zwei Graphen: ∫ (f − g) über die Intervalle zwischen den Schnittstellen.
- Uneigentliches Integral: ∫ von a bis ∞ ist der Grenzwert des Integrals bis b für b → ∞ und existiert nur bei endlichem Grenzwert.
- Partielle Integration: ∫ x·e^(−x) dx = −(x + 1)·e^(−x) + C.
Worked example
Gegeben ist f(x) = (x − 1)·e^(−x). Die Produktregel ergibt f′(x) = 1·e^(−x) + (x − 1)·(−e^(−x)) = (2 − x)·e^(−x). Wegen e^(−x) > 0 folgt aus f′(x) = 0 direkt 2 − x = 0, also x = 2. Zweite Ableitung: f″(x) = −e^(−x)·(2 − x) − e^(−x) = (x − 3)·e^(−x). Damit ist f″(2) = −e^(−2) < 0, es liegt ein Hochpunkt H(2 | e^(−2)) vor; das Vorzeichen von f′ bestätigt dies (positiv für x < 2, negativ für x > 2).
Typische Fehlerquellen
- Innere Ableitung bei e^(−x) oder e^(2x) vergessen - die Kettenregel liefert den Faktor −1 bzw. 2.
- f″(x) = 0 als Wendepunkt gewertet, ohne f‴ oder das Krümmungsverhalten zu prüfen.
- Integrationsgrenzen nicht an den Schnittstellen gewählt, sodass sich Flächen mit Vorzeichen aufheben.
- Beim uneigentlichen Integral den Grenzübergang nicht notiert; die Stammfunktion allein ist kein Nachweis.
- In Sachaufgaben die Einheit der Ableitung (Änderungsrate) mit der des Integrals (Bestand) verwechselt.