Lineare Algebra und Analytische Geometrie (Leistungskurs)
Lineare Algebra und Analytische Geometrie (Leistungskurs)
Geprüft wird der sichere Umgang mit Vektoren im Raum: Geraden und Ebenen in Parameter-, Normalen- und Koordinatenform, Lagebeziehungen, Schnittwinkel, Abstände und Orthogonalitätsargumente. Im LK kommen lineare Gleichungssysteme, lineare Unabhängigkeit sowie das Aufstellen von Ebenen aus drei Punkten oder aus Gerade und Punkt hinzu; im hilfsmittelfreien Teil werden diese Rechnungen ohne CAS verlangt.
Grundlagen
- Gerade: g: x = a + t·u; Ebene in Parameterform x = a + s·u + t·v, in Normalenform n·(x − a) = 0, in Koordinatenform n·x = d.
- Skalarprodukt: u·v = u1v1 + u2v2 + u3v3; u ⊥ v ⇔ u·v = 0; Betrag |u| = √(u·u).
- Das Kreuzprodukt u × v liefert einen Normalenvektor zu u und v.
- Lage Gerade–Ebene: Geradenterm in die Koordinatenform einsetzen; genau eine Lösung → Durchstoßpunkt, keine Lösung → parallel, unendlich viele → Gerade liegt in der Ebene.
- Abstand Punkt–Ebene über die Hessesche Normalenform: d = |n·(p − a)| / |n|.
- Schnittwinkel Gerade–Ebene: sin φ = |u·n| / (|u|·|n|); Gerade–Gerade über cos φ.
Worked example (Abstand Punkt–Ebene)
Ebene E: 2x − y + 2z = 6, Punkt P(3 | 1 | 2). Normalenvektor n = (2; −1; 2), |n| = √(4 + 1 + 4) = 3. Einsetzen von P: 2·3 − 1 + 2·2 = 9, die Abweichung zur rechten Seite beträgt 9 − 6 = 3. Also d = |3| / 3 = 1, der Abstand ist 1 LE. Lotfußpunkt: P − (3/9)·n = (3 − 2/3 | 1 + 1/3 | 2 − 2/3) = (7/3 | 4/3 | 4/3). Probe in E: 14/3 − 4/3 + 8/3 = 18/3 = 6, der Punkt liegt also in E.
Typische Fehlerquellen
- Normalenvektor nicht normiert und den Nenner |n| weggelassen - der Abstand wird dann um den Faktor |n| zu groß.
- In der Koordinatenform den Aufpunkt a statt des Punktes p eingesetzt oder das Vorzeichen von d verdreht.
- Winkel Gerade–Ebene mit cos statt sin berechnet.
- Beim LGS zur Lagebestimmung Widerspruch und Identität nicht sauber unterschieden; „kein Schnitt“ ist bei Geraden nicht automatisch Windschiefe.
- Ebene aus drei Punkten ohne Probe aufgestellt, obwohl der Normalenvektor die Spannvektoren tatsächlich orthogonal trifft.