Stochastik (Leistungskurs)
Stochastik (Leistungskurs)
Der Stochastik-Teil prüft Binomialverteilung und ihre Kenngrößen, Baumdiagramme und Vierfeldertafeln, bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit sowie ein- und zweiseitige Signifikanztests mit Fehler 1. und 2. Art. Im LK werden zusätzlich Prognose- und Konfidenzintervalle sowie die Normalapproximation verlangt; im hilfsmittelfreien Teil sind kleine Wahrscheinlichkeiten per Hand zu berechnen.
Grundlagen
- Bernoulli-Kette: P(X = k) = C(n;k)·p^k·(1 − p)^(n−k); X ~ B(n; p), E(X) = n·p, σ = √(n·p·(1 − p)).
- Kumulieren über die Summe oder das Gegenereignis: P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1). „Mindestens 5“ heißt X ≥ 5, „mehr als 5“ heißt X ≥ 6.
- Sigma-Regeln sind Näherungen und erst ab σ > 3 sinnvoll: P(μ − 1,64σ ≤ X ≤ μ + 1,64σ) ≈ 0,90.
- Einseitiger Test H0: p = p0 gegen H1: p > p0; der Ablehnungsbereich beginnt bei der kleinsten Grenze c mit P(X ≥ c | p0) ≤ α.
- Fehler 1. Art: H0 verworfen, obwohl wahr (Wahrscheinlichkeit ≤ α). Fehler 2. Art: H0 beibehalten, obwohl falsch; er hängt vom wahren p ab und sinkt mit wachsendem n.
Worked example (einseitiger Test)
n = 100, p0 = 0,4, α = 5 %, H1: p > 0,4. Gesucht ist die kleinste Grenze c mit P(X ≥ c | p0 = 0,4) ≤ 0,05. Mit μ = 40 und σ = √24 ≈ 4,90 liefert die Normalapproximation c ≈ 40 + 1,64·4,90 ≈ 48,0, also c = 49 als Kandidat. Die exakte Rechnung ergibt P(X ≥ 49) ≈ 0,042 und P(X ≥ 50) ≈ 0,027; damit ist c = 49 die kleinste zulässige Grenze, denn bei c = 48 läge die Wahrscheinlichkeit über 5 %. Werden 49 oder mehr Treffer beobachtet, wird H0 verworfen; die Irrtumswahrscheinlichkeit bleibt mit etwa 4,2 % unter dem Niveau.
Typische Fehlerquellen
- „Höchstens“ und „weniger als“ verwechselt und dadurch die Grenze um eins verschoben.
- Sigma-Regel ohne Prüfung von σ > 3 als exakte Wahrscheinlichkeit verwendet.
- Beim zweiseitigen Test den Ablehnungsbereich nur auf einer Seite angesetzt statt α/2 je Seite.
- Fehler 2. Art mit der Irrtumswahrscheinlichkeit α gleichgesetzt.
- Bedingte Wahrscheinlichkeit P_B(A) mit P(A ∩ B) verwechselt - der Nenner ist die Bedingung.