Zwei Klassen im Mathetest: Mittelwert, Median und ein Ausreißer
Zwei 10. Klassen einer Hamburger Schule haben denselben Mathetest geschrieben. Die Fachlehrerin vergleicht die Ergebnisse und legt eine Tabelle vor. Klasse A hat 25 Schülerinnen und Schüler; der Mittelwert der Noten liegt bei 3,2, der Median bei 3,0, die Spannweite reicht von 1,0 bis 5,5. Klasse B hat 23 Schülerinnen und Schüler; der Mittelwert liegt bei 2,9, der Median bei 2,8, die Spannweite von 1,0 bis 6,0. In Klasse B hat ein Schüler bei der Nachschrift eine 6,0 erhalten, weil er mehrere Wochen krank war und den Stoff nicht aufholen konnte. Eine Elternvertreterin schreibt in der Klassenchat-Gruppe: „Klasse B ist eindeutig die bessere Matheklasse, der Mittelwert ist niedriger.“ Die Schulleitung überlegt, die Grafik im Schulblatt mit der Überschrift „Klasse B gewinnt den Mathevergleich“ zu veröffentlichen. Die Lehrerin bittet dich, die Aussagen statistisch zu prüfen und eine verantwortungsvolle Formulierung vorzuschlagen.
1. Berechne, wie sich der Mittelwert von Klasse B verändert, wenn man die 6,0 des erkrankten Schülers nicht mitzählt. Bewerte, ob sich dadurch die Rangfolge zwischen A und B ändert.
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Summe B: 2,9 × 23 = 66,7. Ohne die 6,0: 66,7 − 6,0 = 60,7. Neue Anzahl: 22. Neuer Mittelwert: 60,7 ÷ 22 ≈ 2,76. Klasse B liegt damit noch etwas niedriger als vorher, also besser, wenn man niedrige Noten als besser interpretiert. Die Rangfolge ändert sich nicht: B bleibt mit etwa 2,76 vor A mit 3,2. Allerdings ist die Veränderung klein und die Gruppe ist mit 22 bzw. 25 Personen klein. Der Ausreißer erklärt also nicht den gesamten Unterschied, aber er verzerrt den ursprünglichen Mittelwert nach oben. Eine saubere Darstellung würde beide Werte nennen: mit und ohne den Sonderfall.
2. Beurteile die Aussage der Elternvertreterin. Welche statistischen und schulischen Einwände sind wichtig?
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Die Aussage ist zu stark. Ein niedrigerer Mittelwert allein belegt nicht, dass Klasse B „die bessere Matheklasse“ ist. Erstens sind die Gruppen klein und nicht zufällig gebildet; Klassen unterscheiden sich in Zusammensetzung, Stundenplan und Testbedingungen. Zweitens ist der Mittelwert empfindlich gegenüber Ausreißern, wie die 6,0 zeigt. Drittens sagt ein einziger Test wenig über dauerhafte Leistung; der Median und die Verteilung müssten mitbetrachtet werden. Viertens sind Schulnoten ordinal und nur eingeschränkt als intervallskaliert zu behandeln. Sinnvoll wäre: „Klasse B hat in diesem Test im Durchschnitt etwas besser abgeschnitten; wegen der kleinen Gruppen und eines Sonderfalls sind die Unterschiede vorsichtig zu interpretieren.“ Das ist präziser und vermeidet ein Ranking, das die Daten nicht tragen.
3. Formuliere eine kurze Stellungnahme für die Schulleitung, die im Schulblatt verwendet werden könnte. Sie soll informativ sein und Überinterpretation vermeiden.
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Vorschlag: „Im Mathetest der 10. Klassen erzielte Klasse B einen Mittelwert von 2,9 (Median 2,8), Klasse A einen Mittelwert von 3,2 (Median 3,0). In Klasse B ging eine 6,0 aus einer Nachschrift nach längerer Krankheit in die erste Berechnung ein; ohne diesen Sonderfall liegt der Mittelwert bei etwa 2,76. Die Ergebnisse beschreiben diesen einen Test, nicht die allgemeine Leistungsfähigkeit der Klassen. Wegen der kleinen Gruppengrößen und unterschiedlicher Bedingungen sind Vergleiche nur vorsichtig möglich.“ Diese Formulierung nennt die Zahlen, den Sonderfall und die Grenzen. Sie verzichtet auf „gewinnt“ oder „besser“, weil solche Wörter einen Wettbewerb suggerieren, den die Daten nicht belegen. Für die MSA ist wichtig, dass man zwischen Beschreibung und Bewertung unterscheidet.