Rechtwinklig oder schief? – Terrasse fliesen
Herr Özdemir möchte eine rechteckige Terrasse fliesen. Die Terrasse soll 6,40 m lang und 4,20 m breit sein. Beim Abstecken misst er die Diagonale und erhält 7,65 m. Ein Bekannter sagt, die Ecke sei „ziemlich sicher“ rechtwinklig, weil die Diagonale ja fast 7,6 m betrage. Herr Özdemir ist unsicher, ob er so weiterarbeiten kann. Für die Fliesen wählt er quadratische Platten mit 40 cm Seitenlänge. Er rechnet mit 10 % Verschnitt, weil an den Rändern geschnitten werden muss. Die Platten werden in Packungen zu je 12 Stück verkauft; eine Packung kostet 24,90 €. Für den Rand benötigt er außerdem eine Abschlussleiste, die es nur in 4-m-Stücken zu 9,50 € gibt. Er möchte nicht zu viel kaufen, aber auch nicht mitten in der Arbeit feststellen, dass Material fehlt.
1. Prüfe mit dem Satz des Pythagoras, ob die Terrasse rechtwinklig abgesteckt ist. Ist die Abweichung bei einer Diagonalen von 7,65 m akzeptabel, wenn man eine Toleranz von 2 cm zugrunde legt?
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Für einen rechten Winkel müsste die Diagonale d erfüllen: d = √(6,40² + 4,20²).
Berechnung: 6,40² = 40,96 4,20² = 17,64 Summe = 58,60 d = √58,60 ≈ 7,655 m ≈ 7,66 m.
Gemessen wurden 7,65 m. Die Abweichung beträgt rund 0,005 m = 0,5 cm und liegt damit unter der Toleranz von 2 cm. Nach dieser Messung ist die Terrasse rechtwinklig abgesteckt. Man nutzt hier die Umkehrung des Satzes des Pythagoras: Wenn die Seitenquadrate zusammen das Quadrat der Diagonalen ergeben, liegt ein rechter Winkel vor.
2. Berechne, wie viele Packungen Fliesen Herr Özdemir kaufen muss und was die Fliesen kosten.
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Fläche der Terrasse: 6,40 m · 4,20 m = 26,88 m².
Fläche einer Platte: 0,40 m · 0,40 m = 0,16 m².
Benötigte Platten ohne Verschnitt: 26,88 / 0,16 = 168 Stück.
Mit 10 % Verschnitt: 168 · 1,10 = 184,8, also 185 Platten. Man muss aufrunden, weil man keine halbe Platte kaufen kann.
Packungen: 185 / 12 = 15,416…, also 16 Packungen.
Kosten: 16 · 24,90 € = 398,40 €.
Hinweis: Würde man zuerst die Fläche mit Verschnitt berechnen (26,88 · 1,10 = 29,568 m²) und dann durch 0,16 teilen, käme man ebenfalls auf 184,8 Platten.
3. Wie viele 4-m-Leisten muss er kaufen, und reicht das Material für den gesamten Rand? Begründe mit dem Umfang.
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Umfang der Terrasse: U = 2 · (6,40 m + 4,20 m) = 2 · 10,60 m = 21,20 m.
Leisten: 21,20 / 4 = 5,3, also 6 Leisten.
6 · 4 m = 24 m. Das reicht für 21,20 m; es bleiben 2,80 m übrig.
Kosten für die Leisten: 6 · 9,50 € = 57,00 €.
Zusammen mit den Fliesen kostet das Material 398,40 € + 57,00 € = 455,40 €.