Hamburg MSA Math key terms

Die vier Grundoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Sie bilden die Basis für alle weiteren Rechenverfahren und werden in der richtigen Reihenfolge (Punkt vor Strich) ausgeführt.

Regeln, die das Umformen von Ausdrücken erlauben, etwa Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz. Sie rechtfertigen das Umsortieren, Zusammenfassen und Ausklammern von Termen ohne Wertänderung.

Rechnen mit Zahlen der Form Zähler über Nenner. Umfasst Kürzen, Erweitern, Addieren über den Hauptnenner sowie Multiplizieren und Dividieren durch Kehrwertbildung.

Das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner mehrerer Brüche. Brüche werden auf ihn erweitert, damit sie addiert oder subtrahiert werden können.

Zahlenschreibweise mit Komma, bei der die Stellen rechts vom Komma Zehntel, Hundertstel und so weiter darstellen. Endliche und periodische Dezimalbrüche lassen sich in gewöhnliche Brüche umwandeln.

Vereinfachen einer Zahl auf eine bestimmte Stelle. Die Ziffer danach entscheidet: ab 5 wird aufgerundet, sonst abgerundet. Wichtig für Überschlagsrechnungen und sinnvolle Genauigkeit.

Näherungsweises Berechnen mit gerundeten Zahlen, um die Größenordnung eines Ergebnisses zu prüfen. Hilft, Rechenfehler oder unplausible Resultate zu erkennen.

Rechnen mit Anteilen bezogen auf hundert. Grundbegriffe sind Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz; sie hängen über die Formel Prozentwert gleich Grundwert mal Prozentsatz geteilt durch hundert zusammen.

Anwendung der Prozentrechnung auf Geldbeträge über die Zeit. Kapital, Zinssatz und Laufzeit bestimmen die Zinsen; Zinseszins entsteht, wenn Zinsen dem Kapital zugeschlagen werden.

Zins, der auch auf bereits gutgeschriebene Zinsen berechnet wird. Das Kapital wächst dadurch exponentiell statt linear; die Formel lautet Kapital mal (1 plus Zinssatz) hoch Anzahl der Perioden.

Verfahren zum Lösen proportionaler oder antiproportionaler Aufgaben in drei Schritten: bekannte Zuordnung, Schluss auf eine Einheit, Schluss auf die gesuchte Menge.

Zusammenhang, bei dem sich zwei Größen im gleichen Verhältnis ändern: Verdoppelt sich die eine, verdoppelt sich auch die andere. Der Quotient beider Werte ist konstant.

Zusammenhang, bei dem eine Größe abnimmt, wenn die andere zunimmt, und umgekehrt. Das Produkt der zugeordneten Werte bleibt konstant, etwa Zeit mal Arbeitsgeschwindigkeit.

Umformen eines Rechenausdrucks mit Variablen nach den Rechengesetzen, ohne seinen Wert zu verändern. Dazu gehören Ausmultiplizieren, Ausklammern und Zusammenfassen gleichartiger Glieder.

Drei Standardprodukte zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren: (a plus b) zum Quadrat, (a minus b) zum Quadrat und (a plus b) mal (a minus b). Sie beschleunigen Termumformungen.

Zerlegen eines Terms in ein Produkt von Faktoren, etwa durch Ausklammern oder mit binomischen Formeln. Gegenstück zum Ausmultiplizieren und wichtig beim Lösen von Gleichungen.

Gleichung, in der die Variable nur in der ersten Potenz vorkommt. Sie wird durch Äquivalenzumformungen nach der Variablen aufgelöst und hat höchstens eine Lösung.

Operation auf beiden Seiten einer Gleichung, die die Lösungsmenge nicht verändert, etwa Addieren derselben Zahl oder Multiplizieren mit einem Faktor ungleich null.

Mehrere lineare Gleichungen mit mehreren Variablen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen. Gelöst wird mit Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren.

Systematisches Lösen linearer Gleichungssysteme durch Umformen in eine Stufenform. Variablen werden schrittweise eliminiert, bis die Lösung durch Rückwärtseinsetzen ablesbar ist.

Gleichung mit der Variablen in der zweiten Potenz als höchster Potenz. Sie hat bis zu zwei Lösungen, die über Mitternachtsformel, pq-Formel oder quadratische Ergänzung bestimmt werden.

Lösungsformel für quadratische Gleichungen in der Normalform x zum Quadrat plus px plus q gleich null. Die Lösungen ergeben sich aus minus p halb plus oder minus der Wurzel aus p halb zum Quadrat minus q.

Ausdruck unter der Wurzel in der Lösungsformel quadratischer Gleichungen. Ihr Vorzeichen zeigt an, ob zwei, eine oder keine reelle Lösung existiert.

Regeln für das Rechnen mit Potenzen, etwa gleiche Basis: Exponenten addieren beim Multiplizieren, subtrahieren beim Dividieren, multiplizieren bei Potenz einer Potenz.

Umkehrung des Potenzierens: Die n-te Wurzel einer Zahl ist die Zahl, deren n-te Potenz den Radikanden ergibt. Wurzeln lassen sich als Potenzen mit gebrochenem Exponenten schreiben.

Exponent, mit dem eine Basis potenziert werden muss, um eine gegebene Zahl zu erhalten. Logarithmen lösen Exponentialgleichungen und gehorchen eigenen Rechenregeln für Produkte, Quotienten und Potenzen.

Funktion der Form f von x gleich a mal b hoch x mit positiver Basis b ungleich eins. Sie beschreibt Wachstum oder Zerfall, bei dem sich der Wert in gleichen Schritten mit konstantem Faktor ändert.

Funktion der Form f von x gleich m mal x plus b. Der Parameter m gibt die Steigung, b den Schnittpunkt mit der y-Achse an; der Graph ist eine Gerade.

Maß dafür, wie stark eine Gerade ansteigt oder fällt. Berechnet als Höhenunterschied geteilt durch Horizontalunterschied zwischen zwei Punkten der Geraden.

Stelle, an der eine Funktion den Wert null annimmt, also der Schnittpunkt des Graphen mit der x-Achse. Rechnerisch wird die Funktionsgleichung gleich null gesetzt.

Menge aller Eingabewerte, für die eine Funktion definiert ist. Ausgeschlossen sind etwa Stellen mit Nenner null oder negative Radikanden bei geraden Wurzeln.

Menge aller Ausgabewerte, die eine Funktion tatsächlich annimmt. Sie ist vom Definitionsbereich zu unterscheiden und hängt vom Funktionsverlauf ab.

Funktion, die die Wirkung einer anderen rückgängig macht. Sie entsteht durch Auflösen der Gleichung nach x und Vertauschen der Variablen; der Graph ist die Spiegelung an der Geraden y gleich x.

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate der Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse. Grundlage vieler Längenberechnungen in der Ebene.

Lehre von den Beziehungen zwischen Winkeln und Seiten im Dreieck. Sinus, Kosinus und Tangens ordnen einem Winkel ein Seitenverhältnis im rechtwinkligen Dreieck zu.

Winkelangabe über die Länge des zugehörigen Bogens im Einheitskreis. Ein Vollwinkel entspricht zwei Pi; die Umrechnung von Grad erfolgt durch Multiplikation mit Pi geteilt durch 180.

Kreis mit Radius eins um den Ursprung. Er veranschaulicht Sinus und Kosinus als Koordinaten eines Punktes und macht deren Vorzeichen in den Quadranten sichtbar.

Größe der von einer Figur eingeschlossenen Fläche, gemessen in Quadrateinheiten. Für Rechteck, Dreieck und Kreis gibt es feste Formeln; zusammengesetzte Figuren werden zerlegt.

Länge der Begrenzungslinie einer ebenen Figur. Beim Kreis gilt Umfang gleich zwei Pi mal Radius; bei Vielecken werden die Seitenlängen addiert.

Rauminhalt eines Körpers, gemessen in Kubikeinheiten. Für Quader, Zylinder, Kegel und Kugel gelten eigene Formeln, die oft Grundfläche mal Höhe enthalten.

Summe aller Begrenzungsflächen eines dreidimensionalen Körpers. Sie wird aus den einzelnen Teilflächen, etwa Mantel und Grundflächen, berechnet.

Durchschnitt einer Datenreihe, berechnet als Summe aller Werte geteilt durch deren Anzahl. Er reagiert empfindlich auf Ausreißer.

Zentralwert einer der Größe nach geordneten Datenreihe. Bei ungerader Anzahl ist es der mittlere Wert, bei gerader das Mittel der beiden mittleren Werte; robust gegen Ausreißer.

Maß für die Streuung von Werten um den Mittelwert. Sie ist die Wurzel aus der Varianz und wird in derselben Einheit wie die Daten angegeben.

Mittlere quadratische Abweichung der Datenwerte vom Mittelwert. Sie wird als Quadrat der Standardabweichung berechnet und ist wegen der Quadrierung in Quadrateinheiten angegeben.

Zahl zwischen null und eins, die angibt, wie sicher ein Ereignis eintritt. Bei Laplace-Experimenten gilt: Anzahl günstiger Ergebnisse geteilt durch Anzahl aller Ergebnisse.

Ereignis, das genau dann eintritt, wenn das betrachtete Ereignis nicht eintritt. Seine Wahrscheinlichkeit ist eins minus der Wahrscheinlichkeit des ursprünglichen Ereignisses.

Grafische Darstellung mehrstufiger Zufallsexperimente mit Ästen für die möglichen Ausgänge. Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades werden multipliziert, Ergebnisse mehrerer Pfade addiert.

Teilgebiet, das Anzahlen von Anordnungen und Auswahlen bestimmt. Wichtige Werkzeuge sind Fakultät, Binomialkoeffizient sowie die Unterscheidung von Ziehen mit und ohne Zurücklegen.

Anzahl der Möglichkeiten, aus n Elementen eine Teilmenge von k Elementen ohne Beachtung der Reihenfolge auszuwählen. Er wird mit Fakultäten berechnet und im Pascalschen Dreieck dargestellt.

Produkt aller natürlichen Zahlen von eins bis n, geschrieben als n mit Ausrufezeichen. Sie zählt die Anordnungen von n verschiedenen Objekten; null Fakultät ist als eins definiert.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches zweier oder mehrerer Zahlen: die kleinste Zahl, die durch alle gegebenen teilbar ist. Nützlich beim Hauptnenner und bei Periodenlängen.

Eigenschaft einer Zahl, ohne Rest durch eine andere teilbar zu sein. Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5 und andere Zahlen erlauben schnelle Prüfungen ohne schriftliche Division.

Darstellung einer natürlichen Zahl als Produkt von Primzahlen. Sie ist bis auf die Reihenfolge eindeutig und hilft beim Kürzen, bei kgV und ggT.

Wechsel zwischen Maßeinheiten derselben Größe, etwa Meter und Zentimeter oder Minuten und Stunden. Der Umrechnungsfaktor wird als Verhältnis angewendet, oft über den Dreisatz.

Festlegung, wie sich Vorzeichen bei Rechenoperationen verhalten: Minus mal Minus ergibt Plus, Plus mal Minus ergibt Minus. Sie gilt auch beim Auflösen von Klammern.

Entfernen von Klammern mithilfe des Distributivgesetzes oder der Vorzeichenregel. Bei einem Minus vor der Klammer kehren sich alle Vorzeichen in der Klammer um.