Hamburg MSA Math cheat sheet

Prozentrechnung: Grundwert G, Prozentwert W, Prozentsatz p; es gilt W = G · p/100, G = W · 100/p und p = W · 100/G. Zunahme um p Prozent entspricht dem Faktor (1 + p/100), Abnahme dem Faktor (1 − p/100).

Zinsrechnung als Prozentrechnung mit G = Kapital K: Jahreszinsen Z = K · p/100; Zinsen für m Monate Z = K · p/100 · m/12, für t Tage Z = K · p/100 · t/360 (kaufmännisch) bzw. t/365.

Zinseszins: Endkapital nach n Jahren K_n = K_0 · (1 + p/100)^n. Umgekehrt K_0 = K_n / (1 + p/100)^n; die Verdopplungszeit folgt näherungsweise aus (1 + p/100)^n = 2.

Proportionale Zuordnung: y = k · x, Quotient y/x ist konstant, Graph ist eine Gerade durch den Ursprung. Umgekehrt proportional: y = k/x, Produkt x · y ist konstant, Graph ist eine Hyperbel.

Lineare Funktionen: y = m·x + b mit Steigung m = (y2 − y1)/(x2 − x1) und y-Achsenabschnitt b. Zwei Geraden sind parallel bei gleichem m; senkrecht bei m1 · m2 = −1.

Binomische Formeln: (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2; (a − b)^2 = a^2 − 2ab + b^2; (a + b)(a − b) = a^2 − b^2. Faktorisieren heißt, diese Formeln rückwärts anzuwenden.

Quadratische Gleichungen: Normalform x^2 + px + q = 0 löst man mit x = −p/2 ± √((p/2)^2 − q). Die Diskriminante D = (p/2)^2 − q entscheidet: D > 0 zwei Lösungen, D = 0 eine, D < 0 keine reelle Lösung.

Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck: a^2 + b^2 = c^2, wobei c die Hypotenuse gegenüber dem rechten Winkel ist. Umkehrung: Gilt a^2 + b^2 = c^2, dann ist der Winkel gegenüber c ein rechter Winkel.

Volumen und Oberfläche: Quader V = a·b·c, O = 2(ab + ac + bc); Zylinder V = π·r^2·h, O = 2πr^2 + 2πrh; Prisma V = G·h; Pyramide und Kegel V = (1/3)·G·h.

Längeneinheiten: 1 km = 1000 m, 1 m = 100 cm = 1000 mm. Flächen: 1 m^2 = 100 dm^2 = 10 000 cm^2. Volumen: 1 m^3 = 1000 dm^3 = 1000 Liter, 1 Liter = 1000 cm^3.

Geschwindigkeit und Dichte: v = s/t, umgestellt s = v·t und t = s/v; Dichte ρ = m/V. Einheiten stets angleichen, bevor gerechnet wird (z. B. 15 min = 0,25 h).

Maßstab: Ein Maßstab 1 : n bedeutet, dass 1 cm auf der Zeichnung n cm in der Wirklichkeit entspricht; Wirklichkeitslänge = Zeichnungslänge · n, Flächen wachsen mit n^2, Volumina mit n^3.

Lageparameter: arithmetisches Mittel = Summe aller Werte / Anzahl; Median ist der mittlere Wert der sortierten Liste (bei gerader Anzahl das Mittel der beiden mittleren Werte); Modus ist der häufigste Wert.

Spannweite = größter Wert − kleinster Wert. Das Boxplot zeigt Minimum, unteres Quartil, Median, oberes Quartil und Maximum; etwa 50 % der Werte liegen zwischen den Quartilen.

Wahrscheinlichkeit: P(E) = Anzahl günstiger Ergebnisse / Anzahl aller gleich möglichen Ergebnisse, immer 0 ≤ P(E) ≤ 1. Gegenwahrscheinlichkeit P(nicht E) = 1 − P(E).

Mehrstufige Zufallsexperimente: Pfadregel – Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades werden multipliziert; Summenregel – Wahrscheinlichkeiten verschiedener Pfade für dasselbe Ereignis werden addiert.

Runden und Überschlagen: Bei Zwischenschritten nicht zu früh runden; Endergebnis auf die in der Aufgabe verlangte Genauigkeit runden. Überschlagsrechnung mit gerundeten Zahlen prüft die Größenordnung des Ergebnisses.

Textaufgaben strukturieren: gegebene Größen mit Einheit notieren, gesuchte Größe benennen, Formel auswählen, umstellen, einsetzen, Einheit prüfen. Ein Antwortsatz mit Einheit gehört zur vollständigen Lösung.