Hamburg MSA Math flashcards

32 cards. Read the term and the definition here. The deck at the top of this page is optional.

Prozentwert berechnen

Der Prozentwert W ergibt sich aus Grundwert G und Prozentsatz p durch W = G · p/100. Beispiel: 15 % von 240 € sind 240 · 15/100 = 36 €.

Grundwert berechnen

Ist der Prozentwert W und der Prozentsatz p bekannt, gilt G = W · 100/p. Beispiel: 36 € sind 15 %, also ist der Grundwert 36 · 100/15 = 240 €.

Prozentsatz berechnen

Der Prozentsatz folgt aus p = W · 100/G. Beispiel: 36 von 240 sind p = 36 · 100/240 = 15 %. Das Ergebnis ist immer in Prozent anzugeben.

Wachstumsfaktor

Eine Zunahme um p Prozent entspricht der Multiplikation mit (1 + p/100). Eine Abnahme um p Prozent entspricht (1 − p/100). Mehrere Änderungen werden durch Multiplikation der Faktoren verknüpft.

Jahreszinsen

Bei einfacher Verzinsung gilt Z = K · p/100, wobei K das Kapital und p der Zinssatz in Prozent ist. Für unterjährige Zeiträume wird mit dem Anteil m/12 bzw. t/360 multipliziert.

Zinseszinsformel

Das Endkapital nach n Jahren ist K_n = K_0 · (1 + p/100)^n. Der Faktor (1 + p/100) wird n-mal angewendet, weil die Zinsen jedes Jahr dem Kapital zugeschlagen werden.

Proportionale Zuordnung

Bei proportionaler Zuordnung gilt y = k · x mit konstantem Quotienten y/x. Verdoppelt sich x, verdoppelt sich auch y; der Graph ist eine Gerade durch den Ursprung.

Umgekehrt proportionale Zuordnung

Hier gilt y = k/x, das Produkt x · y bleibt also konstant. Verdoppelt sich x, halbiert sich y; der Graph ist eine Hyperbel, die die Achsen nicht berührt.

Steigung einer Geraden

Für zwei Punkte (x1|y1) und (x2|y2) gilt m = (y2 − y1)/(x2 − x1). Die Steigung gibt an, um wie viele Einheiten y wächst, wenn x um eins zunimmt.

y-Achsenabschnitt

In y = m·x + b ist b der y-Achsenabschnitt, also der y-Wert an der Stelle x = 0. Der Graph schneidet dort die y-Achse im Punkt (0|b).

Parallele und senkrechte Geraden

Zwei Geraden sind parallel, wenn ihre Steigungen gleich sind (m1 = m2). Sie sind senkrecht zueinander, wenn m1 · m2 = −1 gilt, also m2 der negative Kehrwert von m1 ist.

Erste binomische Formel

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Das Quadrat einer Summe besteht aus dem Quadrat des ersten Terms, dem doppelten Produkt beider Terme und dem Quadrat des zweiten Terms.

Zweite binomische Formel

(a − b)^2 = a^2 − 2ab + b^2. Im Unterschied zur ersten Formel ist das doppelte Produkt negativ; die beiden Quadrate bleiben positiv.

Dritte binomische Formel

(a + b)(a − b) = a^2 − b^2. Das Produkt aus Summe und Differenz derselben Terme ergibt die Differenz der Quadrate; sie dient häufig zum Faktorisieren.

pq-Formel

Für x^2 + px + q = 0 gilt x = −p/2 ± √((p/2)^2 − q). Vor dem Einsetzen muss die Gleichung in die Normalform gebracht werden, also der Koeffizient von x^2 gleich 1 sein.

Diskriminante

Der Ausdruck D = (p/2)^2 − q unter der Wurzel der pq-Formel heißt Diskriminante. Bei D > 0 gibt es zwei Lösungen, bei D = 0 eine und bei D < 0 keine reelle Lösung.

Satz des Pythagoras

In einem rechtwinkligen Dreieck gilt a^2 + b^2 = c^2, wobei c die Hypotenuse gegenüber dem rechten Winkel ist. Die beiden Kathetenquadrate ergeben zusammen das Hypotenusenquadrat.

Umkehrung des Pythagoras

Gilt in einem Dreieck mit den Seiten a, b, c die Beziehung a^2 + b^2 = c^2, dann ist das Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel gegenüber der Seite c.

Volumen eines Quaders

Das Volumen eines Quaders ist V = a · b · c, das Produkt aus Länge, Breite und Höhe. Die Oberfläche beträgt O = 2(ab + ac + bc) und wird in Flächeneinheiten angegeben.

Volumen eines Zylinders

Für einen Zylinder mit Radius r und Höhe h gilt V = π · r^2 · h. Die Oberfläche setzt sich aus zwei Kreisflächen und dem Mantel zusammen: O = 2πr^2 + 2πrh.

Volumen von Pyramide und Kegel

Pyramide und Kegel haben das Volumen V = (1/3) · G · h mit der Grundfläche G und der Höhe h. Bei gleicher Grundfläche und Höhe ist es ein Drittel des Prismas bzw. Zylinders.

Flächeneinheiten umrechnen

Flächeneinheiten springen um den Faktor 100: 1 m^2 = 100 dm^2 = 10 000 cm^2. Beim Umrechnen in eine kleinere Einheit wird multipliziert, in eine größere dividiert.

Volumeneinheiten und Liter

Volumeneinheiten springen um den Faktor 1000: 1 m^3 = 1000 dm^3. Ein Kubikdezimeter entspricht genau einem Liter, ein Kubikzentimeter einem Milliliter.

Geschwindigkeit berechnen

Es gilt v = s/t mit Weg s und Zeit t. Umgestellt erhält man s = v · t und t = s/v. Vor dem Einsetzen müssen Weg und Zeit in zueinander passenden Einheiten vorliegen.

Dichte

Die Dichte ist ρ = m/V, also Masse pro Volumen. Umgestellt gilt m = ρ · V und V = m/ρ. Typische Einheit ist g/cm^3 oder kg/m^3.

Maßstab

Bei einem Maßstab 1 : n entspricht 1 cm in der Zeichnung n cm in der Wirklichkeit. Längen werden mit n multipliziert, Flächen mit n^2 und Volumina mit n^3.

Arithmetisches Mittel

Das arithmetische Mittel ist die Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl. Es reagiert empfindlich auf Ausreißer, weil jeder einzelne Wert vollständig in die Summe eingeht.

Median

Der Median ist der mittlere Wert einer der Größe nach sortierten Datenliste. Bei gerader Anzahl wird das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte gebildet.

Spannweite und Quartile

Die Spannweite ist die Differenz aus größtem und kleinstem Wert. Das untere und obere Quartil begrenzen die mittleren 50 % der sortierten Daten; der Median liegt dazwischen.

Wahrscheinlichkeit nach Laplace

Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, gilt P(E) = Anzahl günstiger Ergebnisse / Anzahl möglicher Ergebnisse. Der Wert liegt immer zwischen 0 und 1.

Gegenwahrscheinlichkeit

Für jedes Ereignis E gilt P(nicht E) = 1 − P(E). Die Gegenwahrscheinlichkeit ist besonders nützlich, wenn das gesuchte Ereignis viele Einzelergebnisse umfasst.

Pfad- und Summenregel

Im Baumdiagramm werden Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multipliziert. Gehören mehrere Pfade zum selben Ereignis, werden ihre Wahrscheinlichkeiten addiert.