Welcher Fahrradverleih? – Lineare Funktionen im Tarifvergleich
Für einen Tagesausflug vergleicht eine Gruppe von vier Personen zwei Fahrradverleihe. Verleih A verlangt eine Grundgebühr von 12 € pro Rad und zusätzlich 3 € pro Stunde. Verleih B verlangt 5 € Grundgebühr pro Rad und 4,50 € pro Stunde. Bei Verleih B gibt es ab vier Rädern einen Gruppenrabatt von 10 % auf den gesamten Mietpreis; bei Verleih A gibt es keinen Rabatt. Die Gruppe plant zunächst eine Tour von 5 Stunden, ist sich aber nicht sicher, ob sie nicht doch nur 3 Stunden oder länger als 6 Stunden unterwegs sein wird. Außerdem möchten die vier Personen wissen, ob sich der Gruppenrabatt tatsächlich lohnt und ab wann welcher Anbieter günstiger ist. Alle Preise verstehen sich inklusive Helmen und ohne weitere Kosten.
1. Stelle für beide Anbieter je eine Funktion auf, die die Kosten K in Abhängigkeit von der Mietdauer x (in Stunden) für die ganze Gruppe angibt. Berechne den Schnittpunkt und interpretiere ihn im Sachzusammenhang.
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Sei x die Mietdauer in Stunden und K die Gesamtkosten in Euro für vier Räder.
Verleih A: K_A(x) = 4 · (12 + 3x) = 48 + 12x.
Verleih B: K_B(x) = 4 · (5 + 4,5x) · 0,90 = (20 + 18x) · 0,90 = 18 + 16,2x.
Schnittpunkt: 48 + 12x = 18 + 16,2x 30 = 4,2x x = 30 / 4,2 = 7,142857… ≈ 7,14 Stunden.
Interpretation: Bis etwa 7,1 Stunden ist Verleih B günstiger, ab etwa 7,1 Stunden Verleih A. Der Gruppenrabatt bei B ist dabei bereits berücksichtigt.
2. Für die geplante 5-Stunden-Tour: Berechne die Kosten bei beiden Anbietern und entscheide. Wie ändert sich die Entscheidung bei 8 Stunden?
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Bei 5 Stunden: A: K_A(5) = 48 + 12 · 5 = 48 + 60 = 108 €. B: K_B(5) = 18 + 16,2 · 5 = 18 + 81 = 99 €.
B ist für die 5-Stunden-Tour um 9 € günstiger.
Bei 8 Stunden: A: K_A(8) = 48 + 12 · 8 = 48 + 96 = 144 €. B: K_B(8) = 18 + 16,2 · 8 = 18 + 129,6 = 147,60 €.
Jetzt ist A um 3,60 € günstiger. Die Entscheidung kippt also zwischen 5 und 8 Stunden, nämlich bei etwa 7,14 Stunden.
3. Ab welcher Mietdauer ist Verleih A günstiger? Berücksichtige dabei, dass der Gruppenrabatt bei B nur ab vier Rädern gilt.
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Die Gruppe besteht aus vier Personen, also gilt der Gruppenrabatt bei B. A ist günstiger, wenn: 48 + 12x < 18 + 16,2x 30 < 4,2x x > 7,142…
Also ist Verleih A ab etwa 7,14 Stunden günstiger. Für eine kürzere Tour sollte die Gruppe B wählen.
Zur Kontrolle ohne Gruppenrabatt wäre B teurer: 20 + 18x. Dann läge der Schnittpunkt bei 48 + 12x = 20 + 18x, also 28 = 6x und x ≈ 4,67 Stunden. Der Gruppenrabatt verschiebt den Wechsel also deutlich nach hinten und macht B für kürzere Touren attraktiver.