Mittelwert oder Median? – Taschengeld in der 9b
Die Klasse 9b führt eine Umfrage zum monatlichen Taschengeld durch. Die Umfrage ist anonym, alle 15 Bögen sind vollständig. 15 Schülerinnen und Schüler geben folgende Beträge in Euro an: 20; 25; 25; 30; 30; 30; 35; 40; 40; 45; 50; 50; 60; 80; 250. Eine Schülerin hat angegeben, 250 € zu bekommen, weil sie zusätzlich Geld für Nachhilfe und ein Musikabonnement erhält. Die Klassensprecherin möchte die Ergebnisse auf dem Elternabend präsentieren und schwankt zwischen Mittelwert und Median. Ein Mitschüler behauptet, der Mittelwert sei „typischer“, weil er alle Angaben berücksichtigt. Die Klasse möchte außerdem wissen, wie sich die Aussage ändert, wenn man die 250 € als Ausreißer nicht mitzählt. Für die Planung eines gemeinsamen Geschenks von 60 € soll ein realistischer Beitrag pro Schülerin und Schüler bestimmt werden.
1. Berechne Mittelwert und Median der 15 Angaben. Erkläre, warum sich beide Werte so stark unterscheiden.
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Summe aller 15 Beträge: 20 + 25 + 25 + 30 + 30 + 30 + 35 + 40 + 40 + 45 + 50 + 50 + 60 + 80 + 250 = 810 €.
Mittelwert: 810 / 15 = 54 €.
Median: Die Werte sind bereits geordnet. Bei 15 Werten ist der Median der 8. Wert. Zählung: 20 (1), 25 (2), 25 (3), 30 (4), 30 (5), 30 (6), 35 (7), 40 (8). Also Median = 40 €.
Der Mittelwert ist deutlich größer, weil der eine Wert 250 € stark nach oben zieht. Der Median ist robuster gegen solche Ausreißer: Er hängt nur von der Position in der geordneten Liste ab, nicht von der Höhe des Extremwerts.
2. Berechne Mittelwert und Median ohne die 250 €. Wie verändert sich die Interpretation?
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Ohne die 250 € bleiben 14 Werte. Summe: 810 € − 250 € = 560 €. Mittelwert: 560 / 14 = 40 €.
Median bei 14 Werten: Das ist das arithmetische Mittel des 7. und 8. Wertes. Geordnet: 20, 25, 25, 30, 30, 30, 35, 40, 40, 45, 50, 50, 60, 80. 7. Wert = 35, 8. Wert = 40. Median = (35 + 40) / 2 = 37,5 €.
Jetzt liegen Mittelwert (40 €) und Median (37,5 €) viel näher zusammen. Der Ausreißer war die Hauptursache für die große Differenz. Die „typische“ Angabe liegt eher bei 37,5 bis 40 € pro Monat.
3. Welchen Wert sollte die Klassensprecherin für das „typische Taschengeld“ nennen, und welcher Beitrag pro Person ist für das 60-€-Geschenk realistisch? Begründe.
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Für das „typische“ Taschengeld ist der Median die geeignetere Kennzahl, weil er von dem einen Extremwert 250 € nicht verzerrt wird. Der Mittelwert von 54 € würde den Eindruck erwecken, die Klasse habe im Durchschnitt sehr viel mehr Taschengeld, als es für die meisten tatsächlich zutrifft.
Empfehlung für den Elternabend: beide Werte nennen und erklären – Median 40 €, Mittelwert 54 €; ohne Ausreißer Median 37,5 € und Mittelwert 40 €. Als typisch sollte die Klassensprecherin etwa 37,5 bis 40 € nennen.
Für das 60-€-Geschenk ergibt sich bei 15 Personen ein rechnerischer Beitrag von 60 € / 15 = 4 € pro Person, wenn alle gleich viel zahlen. Dieser Betrag ist unabhängig vom Taschengeld. Soll der Beitrag sozial gestaffelt werden, ist der Median die bessere Grundlage als der durch den Ausreißer erhöhte Mittelwert.