Faires Spiel oder Klassenkasse? – Erwartungswert beim Schulfest
Beim Schulfest plant die Klasse 9c zwei Glücksspiele. Spiel A verwendet ein Glücksrad mit 12 gleich großen Feldern, von denen 3 rot sind. Der Einsatz beträgt 2 €; erscheint Rot, werden 5 € ausgezahlt, sonst nichts. Spiel B verwendet einen normalen Würfel. Der Einsatz beträgt 1 €; bei einer 6 werden 6 € ausgezahlt, sonst nichts. Die Klasse möchte mindestens 50 € für die Klassenkasse einnehmen und erwartet etwa 300 Spiele pro Spiel. Ein Mitschüler sagt, Spiel B sei fair, weil Einsatz und Auszahlung bei einem Sechser gleich hoch seien. Eine Lehrerin warnt, dass bei Spiel A „fast immer“ verloren werde, weil nur 3 von 12 Feldern rot seien. Die Klasse ist unsicher, welches Spiel sie anbieten soll und ob die geplante Einnahme realistisch ist.
1. Berechne für beide Spiele den Erwartungswert des Gewinns pro Spiel aus Sicht der Klasse (Einnahme minus Auszahlung). Welches Spiel ist fair, welches bringt der Klasse im Mittel Gewinn?
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Spiel A: P(Rot) = 3/12 = 0,25. Erwartete Auszahlung = 0,25 · 5 € = 1,25 €. Einsatz = 2 €. Mittlerer Gewinn der Klasse = 2 € − 1,25 € = 0,75 € pro Spiel.
Spiel B: P(Sechs) = 1/6 ≈ 0,1667. Erwartete Auszahlung = (1/6) · 6 € = 1 €. Einsatz = 1 €. Mittlerer Gewinn der Klasse = 1 € − 1 € = 0 € pro Spiel.
Spiel B ist fair: Weder die Klasse noch die Spielenden haben langfristig einen Vorteil. Spiel A bringt der Klasse im Mittel 0,75 € pro Spiel.
2. Schätze mit den Erwartungswerten die Einnahme nach 300 Spielen für jedes Spiel. Reicht das für das Ziel von 50 €?
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Spiel A: 300 · 0,75 € = 225 € erwartete Einnahme. Spiel B: 300 · 0 € = 0 € erwartete Einnahme.
Das Ziel von mindestens 50 € wäre mit Spiel A im Erwartungswert deutlich erreichbar, mit Spiel B nicht. Wichtig: Das sind Erwartungswerte, keine garantierten Beträge. Das tatsächliche Ergebnis schwankt. Bei Spiel A ist die Wahrscheinlichkeit, nach 300 Spielen unter 50 € zu bleiben, sehr klein, aber nicht null. Für eine verlässliche Planung sollte die Klasse daher lieber Spiel A anbieten oder bei Spiel B den Einsatz bzw. die Auszahlung so ändern, dass ein positiver Erwartungswert für die Klassenkasse entsteht.
3. Die Lehrerin sagt, bei Spiel A werde „fast immer“ verloren. Bewerte diese Aussage mit einer Wahrscheinlichkeitsrechnung und erkläre, warum sie trotzdem für die Klassenkasse günstig sein kann.
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Bei Spiel A ist P(kein Rot) = 9/12 = 0,75. Man verliert also in 75 % der Spiele. Das ist häufig, aber nicht „fast immer“. In 25 % der Spiele gewinnt man.
In 10 Spielen ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal zu gewinnen: 1 − 0,75^10 ≈ 1 − 0,0563 = 0,9437, also etwa 94 %.
Trotz der hohen Verlustwahrscheinlichkeit pro Spiel ist Spiel A für die Klasse günstig, weil der seltene Gewinn den Einsatz nicht ausgleicht: Die erwartete Auszahlung beträgt 1,25 € und liegt unter dem Einsatz von 2 €. Die Lehrerin verwechselt die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Verlusts mit dem langfristigen Mittel. Für die Klassenkasse zählt nicht, wie oft gewonnen wird, sondern wie viel im Durchschnitt pro Spiel übrig bleibt.