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Zuerst wird die Klammer berechnet: 4 + 5 = 9. Dann gilt 3 · 9 = 27, und die Potenz 2³ ergibt 8, also 27 − 8 = 19. Die Punktrechnung und die Potenz haben Vorrang vor der Strichrechnung, die Klammer hat Vorrang vor allem.
Die Dezimalzahl 0,375 entspricht 375/1000. Nach Kürzen mit 125 erhält man 3/8, denn 375 : 125 = 3 und 1000 : 125 = 8. Als Probe gilt 3 : 8 = 0,375.
Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist das Produkt aus Länge und Breite. Mit 12 cm · 7 cm = 84 cm² erhält man das Ergebnis, und die Einheit ist Quadratzentimeter, weil zwei Längen multipliziert werden.
Auf beiden Seiten wird 7 addiert, sodass 5x = 25 entsteht. Die Division durch 5 ergibt x = 5. Die Probe 5 · 5 − 7 = 18 bestätigt die Lösung.
84 = 4 · 21 = 2 · 2 · 3 · 7. Alle Faktoren 2, 3 und 7 sind Primzahlen, und das Produkt 4 · 3 · 7 ergibt tatsächlich 84. Eine Primfaktorzerlegung darf nur Primzahlen enthalten.
Beim Quadrat gilt Umfang = 4 · Seitenlänge, also ist die Seite 36 : 4 = 9 cm lang. Der Flächeninhalt beträgt dann 9 · 9 = 81 cm². Umfang und Fläche haben unterschiedliche Einheiten und dürfen nicht verwechselt werden.
Ein Meter entspricht 100 Zentimetern. Daher rechnet man 2,5 · 100 = 250 cm. Beim Umrechnen von einer größeren in eine kleinere Einheit wird der Zahlenwert größer.
Der Betrag macht den Wert innerhalb der Striche stets nichtnegativ. Es gilt |−7| = 7, |3| = 3 und |−2| = 2, also 7 + 3 − 2 = 8. Das Ergebnis eines solchen Terms kann durch die abschließende Subtraktion kleiner als die Summe der ersten Beträge sein.
Nach 20 % Rabatt entsprechen 320 Euro genau 80 % des alten Preises. Der Grundwert ist daher 320 : 0,8 = 400 Euro. Der Rabatt beträgt 80 Euro, und 400 − 80 ergibt wieder 320.
Die Zinsen betragen 1500 · 0,04 = 60 Euro. Das Endkapital ist die Summe aus Kapital und Zinsen, also 1500 + 60 = 1560 Euro. Der Zinssatz wird als Dezimalzahl in die Formel eingesetzt.
Nach der Erhöhung kostet die Ware 250 · 1,10 = 275 Euro. Die Senkung bezieht sich auf diesen neuen Preis, also 275 · 0,90 = 247,50 Euro. Weil die beiden Prozentsätze auf unterschiedliche Grundwerte wirken, heben sie sich nicht auf.
Für ein Dreieck gilt Flächeninhalt = ½ · Grundseite · Höhe. Mit ½ · 10 · 6 = 30 cm² erhält man das Ergebnis. Die Halbierung ist der entscheidende Unterschied zur Rechteckformel.
Das Volumen eines Würfels ist die dritte Potenz der Kantenlänge. Mit 3³ = 3 · 3 · 3 = 27 erhält man 27 cm³. Die Einheit ist Kubikzentimeter, weil drei Längen multipliziert werden.
Die Oberfläche eines Quaders berechnet sich als 2 · (a·b + a·c + b·c). Mit 2 · (20 + 10 + 8) = 2 · 38 = 76 cm² erhält man das Ergebnis. Jede der drei Flächenarten kommt zweimal vor.
Die Steigung ist der Quotient aus Höhenunterschied und Horizontalunterschied, also (11 − 3) : (6 − 2). Das ergibt 8 : 4 = 2. Die Reihenfolge der Subtraktion muss in Zähler und Nenner gleich sein.
Der Schnittpunkt mit der y-Achse liegt bei x = 0. Setzt man in f(x) = 2x + 5 den Wert 0 ein, ergibt sich f(0) = 5. Der y-Achsenabschnitt entspricht in der Form y = mx + b genau dem Wert b.
Die Summe der fünf Werte beträgt 4 + 7 + 9 + 12 + 18 = 50. Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch die Anzahl, also 50 : 5 = 10. Der Mittelwert muss nicht mit einem der Werte übereinstimmen.
Es gibt insgesamt 10 Kugeln, davon 4 rote. Die Wahrscheinlichkeit ist der Quotient aus günstigen und möglichen Ergebnissen, also 4 : 10 = 0,4. Sie liegt damit zwischen 0 und 1, wie es bei jeder Wahrscheinlichkeit gilt.
Es gibt 36 gleich wahrscheinliche Ergebnisse. Die Summe 7 entsteht bei den Paaren (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) und (6,1), also sechs günstigen Fällen. Damit ist die Wahrscheinlichkeit 6/36 = 1/6.
Die Fahrzeit von 45 Minuten entspricht 0,75 Stunden. Aus Strecke = Geschwindigkeit · Zeit folgt 80 · 0,75 = 60 km. Die Zeit muss vor der Rechnung in die Einheit der Geschwindigkeit umgerechnet werden.
Beim Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten addiert, also x³ · x⁴ = x⁷. Beim Dividieren werden sie subtrahiert: x⁷ : x² = x⁵. Die Basis bleibt dabei unverändert.
Die Gleichung lautet (x + 8) : 2 = 15. Multipliziert man mit 2, so erhält man x + 8 = 30, und daraus folgt x = 22. Die Probe ergibt (22 + 8) : 2 = 15.
Die Quadratseite ist 40 : 4 = 10 cm, die Fläche also 100 cm². Beim Rechteck gilt 2 · (14 + b) = 40, also b = 6 cm und die Fläche 84 cm². Die Differenz beträgt 100 − 84 = 16 cm²; bei gleichem Umfang hat das Quadrat stets die größere Fläche.
Die entnommene Menge entspricht der Differenz der Füllstände: 3/5 − 1/4 = 12/20 − 5/20 = 7/20. Diese 7/20 entsprechen 12 Litern, also ist das Fassungsvermögen 12 · 20 : 7 ≈ 34,3 Liter. Die Probe bestätigt, dass 3/5 und 1/4 dieses Volumens sich um 12 Liter unterscheiden.
Beim Zinseszins gilt Endkapital = Anfangskapital · 1,05². Der Faktor 1,05² beträgt 1,1025, und 2205 : 1,1025 = 2000 Euro. Die Probe ergibt 2000 · 1,05 = 2100 und 2100 · 1,05 = 2205.
Der Flächeninhalt eines Rechtecks wird als Produkt von Länge und Breite berechnet. Hier ergibt sich 12 cm · 7 cm = 84 cm². Die Einheit ist Quadratzentimeter, weil zwei Längen multipliziert werden.
Die Umrechnung von Zentimetern in Millimeter erfolgt mit dem Faktor 10, denn 1 cm = 10 mm. Also sind 3,5 cm = 3,5 · 10 mm = 35 mm. Die Kommaverschiebung um eine Stelle nach rechts bestätigt das Ergebnis.
Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand von null und daher nie negativ. Es gilt |−9| = 9, |4| = 4 und |−1| = 1. Eingesetzt ergibt sich 9 − 4 + 1 = 6.
Der Rabatt beträgt 15 % von 80 Euro, also 0,15 · 80 = 12 Euro. Der neue Preis ist 80 − 12 = 68 Euro. Alternativ kann man direkt mit dem Faktor 0,85 rechnen: 80 · 0,85 = 68.
Bei jährlicher Verzinsung mit Zinseszins gilt K₂ = K₀ · (1 + p/100)². Mit K₀ = 2000 und p = 3 ergibt sich 2000 · 1,03² = 2000 · 1,0609 = 2121,80 Euro. Der Unterschied zum einfachen Zins entsteht durch die Verzinsung der Zinsen im zweiten Jahr.
Nach der Erhöhung kostet die Ware 120 · 1,25 = 150 Euro. Nach der Senkung um 20 % bleiben 150 · 0,80 = 120 Euro. Die beiden Änderungen heben sich auf, weil 1,25 · 0,80 = 1 ist.
Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist das Produkt aus Grundseite und Höhe, halbiert. Also gilt A = ½ · 14 cm · 9 cm = 63 cm². Die Division durch 2 ist wesentlich, weil ein Dreieck die Hälfte des zugehörigen Parallelogramms ist.
Das Volumen eines Würfels berechnet man mit der Formel V = a³, wobei a die Kantenlänge ist. Hier ergibt sich 5 cm · 5 cm · 5 cm = 125 cm³. Die Einheit Kubikzentimeter zeigt an, dass drei Längen multipliziert wurden.
Das Volumen eines Quaders ist das Produkt seiner drei Kantenlängen. Hier also 6 cm · 4 cm · 3 cm = 72 cm³. Die Reihenfolge der Multiplikation spielt keine Rolle.
Die Steigung m einer Geraden durch zwei Punkte (x₁|y₁) und (x₂|y₂) ist m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Hier ergibt sich (10 − 2)/(5 − 1) = 8/4 = 2. Die Steigung gibt an, dass die Gerade pro Einheit nach rechts um 2 Einheiten steigt.
Die x-Achse wird dort geschnitten, wo f(x) = 0 gilt. Aus −2x + 7 = 0 folgt −2x = −7 und damit x = 3,5. Der Punkt lautet (3,5|0).
Der Median ist der mittlere Wert einer der Größe nach geordneten Datenreihe. Sortiert man die Zahlen, erhält man 3, 4, 5, 7, 8, 9, 12; der mittlere Wert ist 7. Bei einer ungeraden Anzahl von Werten ist der Median stets ein Datenwert.
Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis ist der Quotient aus der Anzahl der günstigen und der Anzahl der möglichen Ergebnisse. Es gibt 3 blaue Kugeln und insgesamt 10 Kugeln, also P = 3/10 = 0,3. Das entspricht 30 %.
Bei einem fairen Würfel sind die drei geraden Augenzahlen 2, 4 und 6 günstig, also ist die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl pro Wurf 3/6 = 1/2. Da die Würfe unabhängig sind, multipliziert man die Wahrscheinlichkeiten: 1/2 · 1/2 = 1/4.
Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist die gesamte Strecke geteilt durch die gesamte Zeit. Die Strecken sind 2 · 65 = 130 km und 3 · 80 = 240 km, zusammen 370 km in 5 Stunden. Also 370 : 5 = 74 km/h.
Beim Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten addiert: a⁵ · a³ = a⁸. Beim Dividieren werden sie subtrahiert: a⁸ : a² = a⁶. Der Term vereinfacht sich also zu a⁶.
Zunächst wird die Klammer ausmultipliziert: 3x − 12 = 2x + 5. Subtrahiert man 2x auf beiden Seiten, erhält man x − 12 = 5, also x = 17. Die Probe mit x = 17 ergibt auf beiden Seiten 39.
Das Quadrat hat die Seitenlänge 8 cm, weil 8² = 64, und damit den Umfang 4 · 8 = 32 cm. Das Rechteck hat die Breite 64 : 16 = 4 cm und den Umfang 2 · (16 + 4) = 40 cm. Die Differenz beträgt 40 − 32 = 8 cm.
Die Differenz zwischen 2/3 und 1/2 des Fassungsvermögens entspricht den entnommenen 10 Litern. Es gilt 2/3 − 1/2 = 4/6 − 3/6 = 1/6. Wenn 1/6 des Behälters 10 Liter sind, beträgt das ganze Fassungsvermögen 6 · 10 = 60 Liter.
Bei Zinseszins gilt K₂ = K₀ · (1 + p/100)². Mit K₂ = 2704 und p = 4 ergibt sich K₀ = 2704 : 1,04² = 2704 : 1,0816 = 2500 Euro. Die Probe bestätigt 2500 · 1,04² = 2704.
Die Punkt-Steigungs-Form lautet y − y₁ = m(x − x₁). Mit m = −3 und (x₁|y₁) = (2|5) ergibt sich y − 5 = −3(x − 2), also y = −3x + 6 + 5 = −3x + 11. Der y-Achsenabschnitt ist 11.
Der Mittelwert ist die Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl. Die Summe beträgt 12 + 15 + 9 + 18 + 6 = 60, und es gibt 5 Werte. Also ist der Mittelwert 60 : 5 = 12.
Das Volumen eines Zylinders ist V = π · r² · h. Mit r = 3 cm und h = 10 cm ergibt sich V = 3,14 · 9 · 10 = 282,6 cm³. Die Einheit Kubikzentimeter ist korrekt, weil es sich um ein Volumen handelt.
Nach dem Satz des Pythagoras gilt c² = a² + b² für die Hypotenuse c. Hier ist c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, also c = 10 cm. Die Hypotenuse ist stets die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck.
Ein Würfel hat sechs kongruente quadratische Flächen. Eine Fläche hat den Inhalt 4 · 4 = 16 cm², also ist die gesamte Oberfläche 6 · 16 = 96 cm². Die Formel lautet O = 6a².