Kostengünstige Dosengeometrie mit Nähten
Ein Getränkehersteller produziert zylindrische Dosen mit einem Fassungsvermögen von 500 cm³. Die Materialkosten betragen 0,01 € pro cm² Blech. Zusätzlich fallen Kosten für die Schweißnähte an: die vertikale Seitennaht kostet 0,02 € pro cm Länge, die beiden kreisförmigen Deckel- und Bodennähte zusammen kosten 0,05 € pro cm Länge. Der Radius r und die Höhe h werden in cm angegeben. Die Produktionsleitung möchte die kostengünstigsten Abmessungen ermitteln, hat aber Bedenken, weil eine sehr schlanke Dose zwar wenig Material für die Mantelfläche benötigt, dafür aber längere Nähte hat. Ein Auszubildender schlägt r = 4 cm und h ≈ 9,95 cm vor, weil dann das Volumen genau 500 cm³ beträgt. Die Geschäftsführung verlangt eine belastbare Begründung, ob dieser Vorschlag tatsächlich kostenminimal ist, und zwar ohne Probieren, sondern mit einer systematischen Untersuchung der Kostenfunktion.
1. Leiten Sie die Kostenfunktion C(r) her, indem Sie die Volumenbedingung nutzen, und bestimmen Sie die kostenminimalen Abmessungen.
Read the worked answer
Volumenbedingung: πr²h=500, also h=500/(πr²). Die Materialfläche ist 2πr²+2πrh; eingesetzt ergibt sich 2πrh=1000/r. Damit lautet die Kostenfunktion C(r)=0,01(2πr²+1000/r)+0,02·500/(πr²)+0,05·4πr. Vereinfacht: C(r)=0,02πr²+20/r+0,2πr. Ableitung: C'(r)=0,04πr−20/r²+0,2π. Nullsetzen und mit r² multiplizieren liefert 0,04πr³+0,2πr²−20=0, also r³+5r²−500/π=0. Numerisch folgt r≈4,167 cm und h≈9,17 cm. Wegen C''(r)=0,08π+40/r³>0 für r>0 liegt ein Minimum vor. Da C(r) für r→0 und für r→∞ über alle Grenzen wächst, ist dieses Minimum global auf dem Definitionsbereich r>0.
2. Beurteilen Sie den Vorschlag r = 4 cm und h ≈ 9,95 cm im Vergleich zum Optimum. Gehen Sie dabei auf den Begriff kostenminimal und auf die Randbetrachtung ein.
Read the worked answer
Für r=4 folgt h=500/(16π)≈9,95 cm. Die Kosten betragen C(4)=0,02π·16+20/4+0,2π·4≈1,005+5+2,513=8,518 €. Am Optimum r≈4,167 gilt C≈0,02π·17,364+20/4,167+0,2π·4,167≈1,091+4,800+2,618=8,509 €. Der Vorschlag ist also nur etwa 0,009 € teurer und damit eine sehr gute Näherung, aber nicht exakt kostenminimal. Kostenminimal bedeutet global auf r>0; eine Randbetrachtung entfällt, weil C(r) bei Annäherung an 0 und bei großem r über alle Grenzen wächst. Die exakte Optimierung liefert r≈4,17 cm und h≈9,17 cm.