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Saxony Abitur Mathematics practice questions

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First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

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Question 1Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x³ − 6x² + 9x. Wie lautet die erste Ableitung f′(x)?

  1. 3x² − 6x + 9
  2. x² − 12x + 9
  3. 3x² − 12x + 3
  4. 3x² − 12x + 9 Correct answer.

Explanation

Die Potenzregel liefert für jeden Summanden die Ableitung: aus x³ wird 3x², aus −6x² wird −12x und aus 9x wird 9. Die Konstante entfällt beim Ableiten, daher bleibt 3x² − 12x + 9 als einzige korrekte Ableitung.

Question 2Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Die Funktion g ist gegeben durch g(x) = e^(2x). Welchen Wert hat die Ableitung g′(0)?

  1. 2 Correct answer.
  2. 1
  3. e
  4. 0

Explanation

Mit der Kettenregel ist g′(x) = 2·e^(2x), da die innere Ableitung des Exponenten 2 ist. An der Stelle x = 0 gilt e⁰ = 1, also g′(0) = 2·1 = 2.

Question 3Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Welche Stammfunktion F gehört zur Funktion f(x) = 4x³?

  1. F(x) = x³ + C
  2. F(x) = 12x² + C
  3. F(x) = x⁴ + C Correct answer.
  4. F(x) = 4x⁴ + C

Explanation

Beim Integrieren erhöht man den Exponenten um eins und teilt durch den neuen Exponenten: ∫4x³ dx = 4·x⁴/4 + C = x⁴ + C. Die Ableitung von x⁴ ist wieder 4x³, was die Probe bestätigt.

Question 4Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Die Funktion h ist gegeben durch h(x) = x² − 4x + 1. An welcher Stelle besitzt der Graph einen lokalen Extrempunkt?

  1. x = 4
  2. x = 2 Correct answer.
  3. x = 0
  4. x = −2

Explanation

Die Ableitung h′(x) = 2x − 4 wird null für x = 2. Da h″(x) = 2 > 0 ist, liegt dort ein lokales Minimum vor. Der Scheitelpunkt der Parabel liegt also bei x = 2.

Question 5Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Welche Bedeutung hat der Ausdruck (f(b) − f(a))/(b − a) für eine Funktion f auf dem Intervall [a; b]?

  1. Er gibt die momentane Änderungsrate an der Stelle a an.
  2. Er gibt den Flächeninhalt unter dem Graphen von f auf [a; b] an.
  3. Er gibt die Steigung der Tangente an der Stelle b an.
  4. Er gibt die mittlere Änderungsrate von f auf [a; b] an. Correct answer.

Explanation

Der Differenzenquotient beschreibt die Steigung der Sekante durch die Punkte (a|f(a)) und (b|f(b)). Damit ist er die mittlere Änderungsrate der Funktion über dem gesamten Intervall, nicht die lokale Steigung an einer einzelnen Stelle.

Question 6Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Für eine Funktion f gilt f(0) = 3 und f′(0) = −2. Welche Gleichung beschreibt die Tangente an den Graphen von f im Punkt (0|3)?

  1. y = −2x − 3
  2. y = −2x + 3 Correct answer.
  3. y = 2x + 3
  4. y = 3x − 2

Explanation

Die Tangentengleichung lautet y = f′(x₀)·(x − x₀) + f(x₀). Mit x₀ = 0, f′(0) = −2 und f(0) = 3 ergibt sich y = −2x + 3. Die Steigung ist −2 und der y-Achsenabschnitt ist 3.

Question 7Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Welche Aussage über das Verhalten der Funktion f mit f(x) = x³ + 2x für x → +∞ ist korrekt?

  1. f(x) → 0, weil die Funktion symmetrisch ist.
  2. f(x) → +∞, weil der Summand x³ für große x dominiert. Correct answer.
  3. f(x) → −∞, weil der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
  4. f(x) strebt gegen einen endlichen Grenzwert, da beide Summanden wachsen.

Explanation

Für große positive x wächst x³ schneller als jeder lineare Term, und 2x ist ebenfalls positiv. Die Summe strebt daher gegen +∞. Der führende Term x³ bestimmt das Verhalten im Unendlichen.

Question 8Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Was gibt das bestimmte Integral ∫ von a bis b über f(x) dx geometrisch an, wenn f auf [a; b] nichtnegativ ist?

  1. Den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse über [a; b]. Correct answer.
  2. Die Länge des Graphen von f zwischen a und b.
  3. Die Steigung der Sekante durch die Punkte (a|f(a)) und (b|f(b)).
  4. Den y-Achsenabschnitt der Tangente an der Stelle a.

Explanation

Das bestimmte Integral summiert die Flächeninhalte infinitesimaler Rechtecke unter dem Graphen. Bei nichtnegativem f entspricht es genau dem Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse im Intervall [a; b].

Question 9Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Die Funktion f mit f(x) = x² − 2x hat die Ableitung f′(x) = 2x − 2. In welchem Bereich ist der Graph von f streng monoton fallend?

  1. Für x < 1 Correct answer.
  2. Für alle x
  3. Für x < 0
  4. Für x > 1

Explanation

Streng monoton fallend bedeutet f′(x) < 0. Aus 2x − 2 < 0 folgt x < 1. Für x < 1 ist die Ableitung negativ, der Graph fällt dort also.

Question 10Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Gegeben ist f(x) = x³ − 3x. Wie lauten die x-Koordinaten der lokalen Extrempunkte?

  1. x = 0 und x = 3
  2. x = −1 und x = 1 Correct answer.
  3. x = −3 und x = 3
  4. x = 1 und x = 3

Explanation

Die Ableitung f′(x) = 3x² − 3 wird null für x² = 1, also x = −1 oder x = 1. Da f″(x) = 6x an diesen Stellen ungleich null ist, liegen dort tatsächlich Extrempunkte vor.

Question 11Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Berechne den Wert des bestimmten Integrals ∫ von 0 bis 2 über (3x² + 1) dx.

  1. 12
  2. 10 Correct answer.
  3. 6
  4. 8

Explanation

Eine Stammfunktion ist F(x) = x³ + x. Damit gilt F(2) − F(0) = (8 + 2) − 0 = 10. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung liefert also den Wert 10.

Question 12Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Die Funktion f mit f(x) = (x − 2)²·e^x besitzt an der Stelle x = 2 eine Nullstelle. Welche Vielfachheit hat diese Nullstelle und wie verhält sich der Graph dort?

  1. Keine Nullstelle, da e^x nie null wird.
  2. Einfache Nullstelle mit Vorzeichenwechsel, der Graph schneidet die x-Achse. Correct answer.
  3. Doppelte Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel, der Graph berührt die x-Achse.
  4. Dreifache Nullstelle mit Vorzeichenwechsel, der Graph schneidet die x-Achse.

Explanation

Der Faktor (x − 2)² hat eine doppelte Nullstelle, aber e^x ist an der Stelle 2 ungleich null. Da der quadratische Faktor das Vorzeichen nicht wechselt, berührt der Graph die x-Achse, statt sie zu schneiden.

Question 13Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Für die Funktion f gilt f(x) = ln(x) für x > 0. Wie lautet die Ableitung f′(x)?

  1. 1/x Correct answer.
  2. x·ln(x) − x
  3. e^x
  4. ln(x)/x

Explanation

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist 1/x für x > 0. Das folgt aus der Umkehrfunktionsregel, da e^x die Umkehrfunktion von ln(x) ist und (e^y)′ = e^y gilt.

Question 14Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Eine Funktion f hat die Ableitung f′(x) = (x − 1)(x + 3). An welcher Stelle wechselt das Monotonieverhalten von fallend zu steigend?

  1. x = 0
  2. x = −3
  3. x = 1 Correct answer.
  4. x = 3

Explanation

Die Ableitung ist eine nach oben geöffnete Parabel mit Nullstellen bei x = −3 und x = 1. Zwischen den Nullstellen ist f′ negativ, außerhalb positiv. Der Wechsel von fallend zu steigend tritt daher bei x = 1 auf, wo f′ von negativ nach positiv wechselt.

Question 15Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Welchen Wert hat der Grenzwert lim (x→0) von (sin(x))/x?

  1. 1 Correct answer.
  2. 0
  3. Nicht definiert
  4. Unendlich

Explanation

Der Grenzwert lim (x→0) sin(x)/x ist ein fundamentaler Grenzwert und beträgt 1. Anschaulich nähert sich die Steigung der Sinuskurve im Ursprung dem Wert 1, da sin′(0) = cos(0) = 1 gilt.

Question 16Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Die Funktion F mit F(x) = x²·e^x ist eine Stammfunktion welcher Funktion f?

  1. f(x) = (x² − 2x)·e^x
  2. f(x) = x²·e^x
  3. f(x) = 2x·e^x
  4. f(x) = (x² + 2x)·e^x Correct answer.

Explanation

Mit der Produktregel ist F′(x) = 2x·e^x + x²·e^x = (x² + 2x)·e^x. Also ist F eine Stammfunktion von f(x) = (x² + 2x)·e^x.

Question 17Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Der Graph einer ganzrationalen Funktion f ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Welche Aussage über f muss dann zwingend gelten?

  1. f ist auf ganz ℝ streng monoton steigend.
  2. f ist eine gerade Funktion, es gilt also f(−x) = f(x) für alle x.
  3. f hat keine Nullstelle.
  4. f ist eine ungerade Funktion, es gilt also f(−x) = −f(x) für alle x. Correct answer.

Explanation

Punktsymmetrie zum Ursprung bedeutet f(−x) = −f(x) für alle x im Definitionsbereich. Solche Funktionen heißen ungerade; bei ganzrationalen Funktionen treten dann nur ungerade Exponenten auf.

Question 18Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Gegeben ist f(x) = x⁴ − 4x². Wie viele Wendestellen besitzt der Graph von f?

  1. Keine
  2. Zwei Correct answer.
  3. Drei
  4. Eine

Explanation

Es gilt f′(x) = 4x³ − 8x und f″(x) = 12x² − 8. Die zweite Ableitung wird null für x² = 2/3, also für x = ±√(2/3). Da f‴(x) = 24x an diesen Stellen ungleich null ist, liegen zwei Wendestellen vor.

Question 19Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Die Fläche zwischen dem Graphen von f(x) = 4 − x² und der x-Achse soll berechnet werden. Welchen Inhalt hat diese Fläche?

  1. 32/3 Correct answer.
  2. 16/3
  3. 8
  4. 4

Explanation

Die Nullstellen liegen bei x = ±2. Das Integral ∫ von −2 bis 2 über (4 − x²) dx hat die Stammfunktion 4x − x³/3. Eingesetzt ergibt sich (8 − 8/3) − (−8 + 8/3) = 32/3.

Question 20Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Eine Funktion f erfüllt f′(x) = 2·f(x) für alle x und f(0) = 5. Welche Funktionsgleichung passt zu diesen Bedingungen?

  1. f(x) = 5·e^(2x) Correct answer.
  2. f(x) = 5·e^x
  3. f(x) = 5 + 2x
  4. f(x) = 2·e^(5x)

Explanation

Die Differentialgleichung f′ = 2f wird durch Exponentialfunktionen der Form f(x) = C·e^(2x) gelöst. Die Anfangsbedingung f(0) = 5 liefert C = 5, also f(x) = 5·e^(2x).

Question 21Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Für eine Funktion f gilt f(x) = x·ln(x) für x > 0. Wie lautet die Ableitung f′(x)?

  1. x + ln(x)
  2. ln(x)
  3. 1
  4. ln(x) + 1 Correct answer.

Explanation

Mit der Produktregel gilt f′(x) = 1·ln(x) + x·(1/x) = ln(x) + 1. Der zweite Summand vereinfacht sich zu 1.

Question 22Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Gegeben ist die Funktionenschar f_a(x) = x³ − a·x mit a > 0. Wie hängt die Lage der Extremstellen von a ab?

  1. Die Extremstellen liegen bei x = ±√(a/3) und rücken mit wachsendem a weiter auseinander. Correct answer.
  2. Die Funktion hat für jedes a > 0 keine Extremstellen.
  3. Die Extremstellen liegen unabhängig von a stets bei x = ±1.
  4. Die Extremstellen liegen bei x = ±a und rücken mit wachsendem a auseinander.

Explanation

Aus f_a′(x) = 3x² − a = 0 folgt x² = a/3, also x = ±√(a/3). Mit wachsendem a wächst auch √(a/3), sodass die Extremstellen weiter auseinanderliegen.

Question 23Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Die Funktion f mit f(x) = x²·e^(−x) ist für x ≥ 0 definiert. Welchen Wert nimmt f für x → +∞ an?

  1. f(x) → +∞, da x² unbeschränkt wächst.
  2. f(x) → 1, da e^(−x) gegen 1 strebt.
  3. f(x) → 0, da die Exponentialfunktion schneller abfällt als jedes Polynom wächst. Correct answer.
  4. f(x) → −∞, da der Exponent negativ ist.

Explanation

Für x → +∞ wächst e^x schneller als jede Potenz von x, daher strebt x²/e^x gegen 0. Der Faktor e^(−x) = 1/e^x dominiert das Polynomwachstum, sodass der Grenzwert 0 ist.

Question 24Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Die Funktion f mit f(x) = x³ − 3x² + 4 hat die Ableitung f′(x) = 3x² − 6x. Welche Aussage über die Krümmung des Graphen ist korrekt?

  1. Für x < 1 ist der Graph rechtsgekrümmt, für x > 1 linksgekrümmt. Correct answer.
  2. Für x < 1 ist der Graph linksgekrümmt, für x > 1 rechtsgekrümmt.
  3. Der Graph ist auf ganz ℝ linksgekrümmt.
  4. Der Graph ist auf ganz ℝ rechtsgekrümmt.

Explanation

Die Krümmung wird durch f″(x) = 6x − 6 bestimmt. Für x < 1 ist f″ negativ (Rechtskrümmung), für x > 1 positiv (Linkskrümmung). Bei x = 1 liegt daher eine Wendestelle vor.

Question 25Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = (x² − 1)/(x − 1) für x ≠ 1. Welche Aussage beschreibt das Verhalten an der Stelle x = 1 korrekt?

  1. Der Grenzwert beträgt 0, da der Zähler bei x = 1 ebenfalls null wird.
  2. Der Grenzwert existiert nicht, da der Nenner null wird.
  3. Die Funktion hat an der Stelle x = 1 eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.
  4. Der Grenzwert für x → 1 existiert und beträgt 2; die Definitionslücke ist hebbar. Correct answer.

Explanation

Für x ≠ 1 lässt sich der Zähler als (x − 1)(x + 1) faktorisieren, sodass f(x) = x + 1 gilt. Der Grenzwert für x → 1 ist daher 2, und die Definitionslücke ist hebbar.

Question 26Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 3x² − 12x + 7. An welcher Stelle x besitzt der Graph von f einen lokalen Extrempunkt?

  1. x = 2 Correct answer.
  2. x = 7
  3. x = −2
  4. x = 4

Explanation

Die Ableitung lautet f′(x) = 6x − 12. Nullsetzen ergibt 6x − 12 = 0, also x = 2; da f″(x) = 6 > 0 ist, liegt dort ein lokales Minimum vor.

Question 27Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x³ − 6x² + 9x. Welche Aussage über die Wendestelle des Graphen von f ist korrekt?

  1. Der Graph besitzt keine Wendestelle.
  2. Der Graph besitzt bei x = 1 eine Wendestelle.
  3. Der Graph besitzt bei x = 3 eine Wendestelle.
  4. Der Graph besitzt bei x = 2 eine Wendestelle. Correct answer.

Explanation

Es gilt f′(x) = 3x² − 12x + 9 und f″(x) = 6x − 12. Die zweite Ableitung verschwindet bei x = 2, und da f‴(x) = 6 ≠ 0 ist, liegt dort tatsächlich eine Wendestelle vor.

Question 28Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x²·ln(x) für x > 0. Wie lautet die Ableitung f′(x)?

  1. f′(x) = 2x·ln(x) + x Correct answer.
  2. f′(x) = 2x·ln(x)
  3. f′(x) = x + 2x
  4. f′(x) = 2x·ln(x) − x

Explanation

Mit der Produktregel ist f′(x) = 2x·ln(x) + x²·(1/x) = 2x·ln(x) + x. Der zweite Summand entsteht aus der Ableitung des Faktors ln(x).

Question 29Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Berechne den Wert des bestimmten Integrals ∫ von 1 bis 3 über (2x + 1) dx.

  1. 8
  2. 10 Correct answer.
  3. 6
  4. 12

Explanation

Eine Stammfunktion ist F(x) = x² + x. Damit gilt F(3) − F(1) = (9 + 3) − (1 + 1) = 12 − 2 = 10.

Question 30Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Die Funktion f mit f(x) = e^(2x) ist gegeben. Welche Stammfunktion F von f erfüllt F(0) = 1?

  1. F(x) = e^(2x)
  2. F(x) = 0,5·e^(2x) + 0,5 Correct answer.
  3. F(x) = 2·e^(2x) − 1
  4. F(x) = 0,5·e^(2x) − 0,5

Explanation

Allgemein ist F(x) = 0,5·e^(2x) + C eine Stammfunktion, denn Ableiten ergibt e^(2x). Die Bedingung F(0) = 0,5 + C = 1 liefert C = 0,5.

Question 31Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = (x − 1)/(x + 2) für x ≠ −2. Welche Gleichung beschreibt die senkrechte Asymptote des Graphen von f?

  1. x = 1
  2. x = −2 Correct answer.
  3. y = 1
  4. x = 2

Explanation

Die Nennernullstelle x = −2 ist Definitionslücke; da der Zähler dort den Wert −3 ≠ 0 hat, liegt eine Polstelle vor. Die senkrechte Asymptote ist daher x = −2.

Question 32Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x·e^x. Wie lautet die Gleichung der Tangente an den Graphen von f an der Stelle x = 0?

  1. y = x + 1
  2. y = x Correct answer.
  3. y = e·x
  4. y = 2x

Explanation

Es gilt f(0) = 0 und mit der Produktregel f′(x) = e^x + x·e^x, also f′(0) = 1. Die Tangente lautet y = 1·(x − 0) + 0 = x.

Question 33Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x³ − 3x² + 2. Wie lautet die Gleichung der Wendetangente, also der Tangente im Wendepunkt des Graphen?

  1. y = 3x − 3
  2. y = −x + 3
  3. y = −3x + 3 Correct answer.
  4. y = −3x + 1

Explanation

Es gilt f′(x) = 3x² − 6x und f″(x) = 6x − 6, also Wendestelle x = 1 mit f(1) = 0. Die Steigung ist f′(1) = −3, die Tangente y = −3(x − 1) + 0 = −3x + 3.

Question 34Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Gegeben ist die Funktionenschar f_a mit f_a(x) = x² + a·x + 1 und a ∈ ℝ. Für welchen Wert von a hat der Graph von f_a sein Minimum an der Stelle x = 3?

  1. a = −6 Correct answer.
  2. a = 3
  3. a = −3
  4. a = 6

Explanation

Die Extremstelle einer Parabel liegt bei x = −a/2. Aus −a/2 = 3 folgt a = −6.

Question 35Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Für eine Funktion f gilt f(2) = 5, f′(2) = 0 und f″(2) = −4. Welche Schlussfolgerung über den Graphen von f an der Stelle x = 2 ist zulässig?

  1. Der Graph hat dort einen lokalen Tiefpunkt.
  2. Der Graph hat dort einen Wendepunkt.
  3. Der Graph hat dort einen Sattelpunkt.
  4. Der Graph hat dort einen lokalen Hochpunkt. Correct answer.

Explanation

Eine waagerechte Tangente (f′(2) = 0) zusammen mit f″(2) < 0 bedeutet, dass die Steigung von positiv nach negativ wechselt. Damit liegt ein lokales Maximum vor.

Question 36Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = sin(x) für 0 ≤ x ≤ 2π. An welcher Stelle besitzt der Graph von f im Inneren dieses Intervalls einen lokalen Hochpunkt?

  1. x = π/2 Correct answer.
  2. x = 0
  3. x = 3π/2
  4. x = π

Explanation

Es gilt f′(x) = cos(x). Nullstellen im Inneren sind x = π/2 und x = 3π/2; wegen f″(x) = −sin(x) ist f″(π/2) = −1 < 0, also liegt dort ein Hochpunkt.

Question 37Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Die Funktion F mit F(x) = x·ln(x) − x ist für x > 0 definiert. Welche Funktion hat F als Stammfunktion?

  1. f(x) = ln(x) Correct answer.
  2. f(x) = 1/x
  3. f(x) = x·ln(x)
  4. f(x) = ln(x) − 1

Explanation

Mit der Produktregel ist F′(x) = 1·ln(x) + x·(1/x) − 1 = ln(x) + 1 − 1 = ln(x). Also ist F eine Stammfunktion von f(x) = ln(x).

Question 38Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x⁴ − 2x². Wie viele Nullstellen besitzt f?

  1. 2
  2. 3 Correct answer.
  3. 1
  4. 4

Explanation

Mit der Substitution u = x² folgt x²(x² − 2) = 0, also x = 0, x = √2 und x = −√2. Das sind drei verschiedene Nullstellen.

Question 39Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x³ − 3x. Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graph von f im Bereich 0 ≤ x ≤ 2 mit der x-Achse einschließt?

  1. 1
  2. 4
  3. 2 Correct answer.
  4. 0

Explanation

Es gilt ∫ von 0 bis 2 über (x³ − 3x) dx = [x⁴/4 − 3x²/2] von 0 bis 2 = (4 − 6) − 0 = −2. Der orientierte Wert ist −2, der Flächeninhalt beträgt also 2.

Question 40Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Eine Funktion f erfüllt f′(x) = −3·f(x) für alle x und f(0) = 4. Welche Funktionsgleichung passt zu diesen Bedingungen?

  1. f(x) = 4·e^(3x)
  2. f(x) = 4·e^(−3x) Correct answer.
  3. f(x) = e^(−3x) + 3
  4. f(x) = −3·e^(4x)

Explanation

Die Differentialgleichung f′ = k·f hat die Lösung f(x) = C·e^(kx) mit k = −3. Aus f(0) = C = 4 folgt f(x) = 4·e^(−3x).

Question 41Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = (x² + 1)/(x − 1) für x ≠ 1. Welche Aussage über das Verhalten für x → ±∞ ist korrekt?

  1. Der Graph besitzt keine Asymptote für x → ±∞.
  2. Der Graph nähert sich der Geraden y = x an.
  3. Der Graph nähert sich der Geraden y = x + 1 an. Correct answer.
  4. Der Graph nähert sich der Geraden y = 1 an.

Explanation

Polynomdivision liefert (x² + 1)/(x − 1) = x + 1 + 2/(x − 1). Für x → ±∞ verschwindet der Restterm, sodass y = x + 1 die schiefe Asymptote ist.

Question 42Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x² − 4x + 5. Welche Gleichung beschreibt die Tangente an den Graphen im Punkt (3 | f(3))?

  1. y = 3x − 4
  2. y = −2x + 4
  3. y = 2x − 4 Correct answer.
  4. y = 2x + 4

Explanation

Es gilt f(3) = 9 − 12 + 5 = 2 und f′(x) = 2x − 4, also f′(3) = 2. Die Tangente lautet y = 2(x − 3) + 2 = 2x − 4.

Question 43Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Die Funktion f mit f(x) = x³ + a·x² + 3x hat für genau einen Wert von a an der Stelle x = 1 eine waagerechte Tangente. Wie lautet dieser Wert?

  1. a = 1
  2. a = 3
  3. a = −1
  4. a = −3 Correct answer.

Explanation

Es gilt f′(x) = 3x² + 2a·x + 3. Die Bedingung f′(1) = 3 + 2a + 3 = 0 liefert 2a = −6, also a = −3.

Question 44Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x·e^(−x). Welchen Wert hat der Grenzwert lim (x→+∞) von f(x)?

  1. +∞
  2. 1
  3. −∞
  4. 0 Correct answer.

Explanation

Für x → +∞ wächst e^(−x) schneller gegen 0, als x wächst; formal gilt x·e^(−x) = x/e^x → 0. Die Exponentialfunktion dominiert also das Polynom.

Question 45Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x³ − 3x². Welche Stammfunktion F erfüllt F(1) = 0?

  1. F(x) = x⁴/4 − x³ − 3/4
  2. F(x) = 3x² − 6x + 3
  3. F(x) = x⁴/4 − x³ + 3/4 Correct answer.
  4. F(x) = x⁴/4 − x³

Explanation

Eine Stammfunktion ist F(x) = x⁴/4 − x³ + C. Aus F(1) = 1/4 − 1 + C = 0 folgt C = 3/4.

Question 46Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Für eine ganzrationale Funktion f gilt f(−x) = −f(x) für alle x. Welche Aussage über die Ableitung f′ ist dann zwingend korrekt?

  1. Es gilt f′(x) > 0 für alle x.
  2. Es gilt f′(−x) = −f′(x) für alle x.
  3. Es gilt f′(−x) = f′(x) für alle x. Correct answer.
  4. Es gilt f′(0) ≠ 0.

Explanation

Leitet man f(−x) = −f(x) beidseitig ab, so erhält man mit der Kettenregel −f′(−x) = −f′(x), also f′(−x) = f′(x). Die Ableitung einer ungeraden Funktion ist demnach gerade.

Question 47Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 2·sin(3x). Wie lautet die Ableitung f′(x)?

  1. f′(x) = −6·cos(3x)
  2. f′(x) = 6·sin(3x)
  3. f′(x) = 6·cos(3x) Correct answer.
  4. f′(x) = 2·cos(3x)

Explanation

Nach der Kettenregel ist die Ableitung von sin(3x) gleich 3·cos(3x). Mit dem Faktor 2 ergibt sich f′(x) = 6·cos(3x).

Question 48Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = ln(x² + 1). Wie lautet die Ableitung f′(x)?

  1. f′(x) = 2x/(x² + 1) Correct answer.
  2. f′(x) = 2x·ln(x² + 1)
  3. f′(x) = 1/(2x)
  4. f′(x) = 1/(x² + 1)

Explanation

Mit der Kettenregel ist die Ableitung von ln(u(x)) gleich u′(x)/u(x). Hier ist u(x) = x² + 1 und u′(x) = 2x, also f′(x) = 2x/(x² + 1).

Question 49Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = (x − 2)²·(x + 1). An welcher Stelle berührt der Graph von f die x-Achse, ohne sie zu schneiden?

  1. x = 1
  2. x = 2 Correct answer.
  3. x = −1
  4. x = 0

Explanation

Bei x = 2 liegt wegen des quadrierten Faktors eine Nullstelle gerader Vielfachheit (Vielfachheit 2) vor. Dort berührt der Graph die x-Achse und wechselt das Vorzeichen nicht.

Question 50Analysis (functions, calculus, differential and integral calculus)

Die Funktion f mit f(x) = x³ − 6x² + 9x beschreibt auf dem Intervall [0; 4] eine Kurve. An welcher Stelle nimmt f auf diesem Intervall den größten Wert an?

  1. x = 3
  2. x = 0
  3. x = 1
  4. x = 4 Correct answer.

Explanation

Die Randwerte und Extremwerte sind zu vergleichen: f(0) = 0, f(1) = 4, f(3) = 0 und f(4) = 64 − 96 + 36 = 4. Das globale Maximum liegt also bei x = 4 mit dem Wert 4 (ebenso wie bei x = 1).