Solarmodul, Stütze und Sonneneinfall
Ein Solarmodul soll auf einem Flachdach montiert werden. In einem Koordinatensystem mit 1 Einheit = 1 m sind drei Befestigungspunkte A(2|0|0), B(0|3|0) und C(0|0|4) gegeben. Das Modul soll in der Ebene liegen, die diese drei Punkte aufspannt. Die Sonneneinstrahlung wird für eine Momentaufnahme durch den Richtungsvektor s=(1|1|1) beschrieben. Ein Statiker plant eine Stütze, die vom Punkt P(1|1|1) aus in Richtung d=(1|−2|1) verläuft. Er behauptet, die Stütze treffe die Modulfläche, weil sie die Ebene schneide. Die Bauleitung möchte wissen, ob die Stütze tatsächlich innerhalb des dreieckigen Moduls A-B-C verankert werden kann, und in welchem Winkel die Sonne auf das Modul trifft. Zusätzlich ist zu prüfen, ob die drei Punkte A, B und C eindeutig eine Ebene festlegen.
1. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E durch A, B und C und prüfen Sie, ob die drei Punkte kollinear sind.
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Richtungsvektoren: AB=(−2|3|0) und AC=(−2|0|4). Das Kreuzprodukt AB×AC=(3·4−0·0|0·(−2)−(−2)·4|(−2)·0−3·(−2))=(12|8|6)=2·(6|4|3). Ein Normalenvektor ist also n=(6|4|3). Mit A folgt 6·2+4·0+3·0=12, daher E: 6x+4y+3z=12. Da das Kreuzprodukt nicht der Nullvektor ist, sind AB und AC nicht parallel; A, B und C sind nicht kollinear und legen eindeutig eine Ebene fest.
2. Berechnen Sie den Schnittpunkt der Stützengeraden mit E und prüfen Sie, ob er im Dreieck ABC liegt.
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Gerade g: X=P+t·d=(1+t|1−2t|1+t). Einsetzen in E: 6(1+t)+4(1−2t)+3(1+t)=12. Das ergibt 13+t=12, also t=−1. Der Schnittpunkt ist Q=(0|3|0)=B. Die Stütze trifft damit die Ebene genau in der Ecke B des Dreiecks, also auf dem Rand, nicht im Inneren. Für die Verankerung ist das ein Grenzfall: Der Schnittpunkt liegt im Modul, aber eine Befestigung genau im Eckpunkt kann konstruktiv problematisch sein. Die Behauptung des Statikers ist nur eingeschränkt richtig: Die Gerade schneidet die Ebene, aber nicht die Innenfläche des Dreiecks.
3. Bestimmen Sie den Winkel zwischen Sonnenrichtung und der Normalen der Modulebene. Erläutern Sie, warum ein kleiner Winkel zur Normalen günstig ist.
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Mit n=(6|4|3) gilt |n|=√(36+16+9)=√61≈7,81 und |s|=√3≈1,73. Das Skalarprodukt ist s·n=6+4+3=13. Damit ist cos θ=13/(√61·√3)=13/√183≈0,961, also θ≈16,0°. Die Sonne steht damit fast senkrecht zur Modulebene. Ein kleiner Winkel zur Normalen bedeutet einen großen Einfallswinkel zur Fläche und damit eine hohe bestrahlte Fläche; die Einstrahlung ist näherungsweise proportional zu cos θ. Bei θ=16° ist der Verlust gegenüber senkrechtem Einfall gering.