Ausschuss, Bayes und ein Schnelltest
Ein Werk produziert Bauteile auf zwei Linien. Linie A fertigt 60 % der Tagesproduktion, Linie B 40 %. Aus Langzeitmessungen ist bekannt: Linie A hat eine Ausschussquote von 2 %, Linie B von 5 %. Ein Bauteil wird zufällig entnommen und ist defekt. Die Qualitätsleitung behauptet, es stamme mit hoher Wahrscheinlichkeit von Linie B, weil dort die Ausschussquote mehr als doppelt so hoch sei. Um die Ursache schneller zu finden, wird ein Schnelltest eingesetzt. Er erkennt einen Defekt mit Wahrscheinlichkeit 90 %; bei einem intakten Bauteil liefert er fälschlich mit Wahrscheinlichkeit 5 % ein positives Ergebnis. Ein positives Testergebnis liegt vor. Ein Praktikant folgert, das Bauteil sei nun mit etwa 90 % Wahrscheinlichkeit defekt. Die Werkleitung möchte eine belastbare Einschätzung, bevor sie teure Nacharbeit auslöst.
1. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein defektes Bauteil von Linie B stammt, und beurteilen Sie die Behauptung der Qualitätsleitung.
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Sei D das Ereignis defekt. Nach dem Satz von Bayes gilt P(B|D)=P(B)·P(D|B)/P(D). Die Gesamtausscheidung ist P(D)=0,6·0,02+0,4·0,05=0,012+0,020=0,032. Damit ist P(B|D)=0,4·0,05/0,032=0,020/0,032=0,625. Ein defektes Bauteil stammt also mit 62,5 % von Linie B und mit 37,5 % von Linie A. Die Aussage mit hoher Wahrscheinlichkeit ist nicht falsch, aber vorsichtig zu formulieren: Die höhere Ausschussquote von B wird durch den kleineren Produktionsanteil teilweise ausgeglichen. Als alleinige Entscheidungsgrundlage für eine Ursachenanalyse ist die Linie B zwar der wahrscheinlichere Ursprung, aber nicht überwältigend wahrscheinlich.
2. Berechnen Sie P(defekt | positiver Test) und erklären Sie den Unterschied zur Aussage des Praktikanten.
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Sei T+ das positive Testergebnis. Gegeben sind P(T+|D)=0,9 und P(T+|nicht D)=0,05. Die Gesamtwahrscheinlichkeit eines positiven Tests ist P(T+)=0,9·0,032+0,05·0,968=0,0288+0,0484=0,0772. Damit ist P(D|T+)=0,0288/0,0772≈0,373, also nur etwa 37,3 %. Der Praktikant verwechselt die Sensitivität P(T+|D)=90 % mit der gesuchten Wahrscheinlichkeit P(D|T+). Weil Defekte mit 3,2 % selten sind, erzeugt der Test trotz guter Sensitivität viele falsch positive Ergebnisse: Von 1000 Teilen sind etwa 32 defekt und 968 intakt; der Test meldet etwa 28,8 wahre und 48,4 falsche Positive. Die Basisrate ist entscheidend.
3. Beurteilen Sie, ob der Schnelltest als alleinige Grundlage für teure Nacharbeit geeignet ist, und schlagen Sie eine sinnvolle Änderung vor.
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Als alleinige Grundlage ist der Test ungeeignet, weil bei positivem Ergebnis nur etwa 37 % der Teile tatsächlich defekt sind. Mehr als 60 % der positiven Fälle wären falsch positiv; teure Nacharbeit würde überwiegend intakte Teile treffen. Sinnvoll ist eine zweistufige Strategie: Bei positivem Schnelltest zunächst die Herkunftslinie prüfen oder einen zweiten, genaueren Test einsetzen. Alternativ kann man den Schnelltest nur als Screening verwenden und die endgültige Entscheidung von einer Stichprobe oder einem Bestätigungstest abhängig machen. Die Entscheidung sollte auch die Kosten von Nacharbeit und Ausschuss gegenüberstellen.