Fahrradverleih: Sinusmodell und Modellkritik
Ein Fahrradverleih an einem See möchte die Anzahl der Ausleihen pro Tag modellieren. Für einen Sommertag liegen stündliche Messwerte vor; die Ausleihen steigen ab 8 Uhr an, erreichen gegen 18 Uhr ein Maximum von etwa 200 und fallen bis 22 Uhr auf etwa 20. Ein Praktikant schlägt das Modell f(t)=90·sin(π/12·(t−9))+110 für 8≤t≤22 vor, wobei t die Uhrzeit in Stunden nach Mitternacht und f(t) die Anzahl der Ausleihen pro Stunde ist. Die Geschäftsführung bemerkt, dass das Modell um 18 Uhr nur etwa 110 Ausleihen liefert, obwohl 200 gemessen wurden. Außerdem sollen im Winter deutlich weniger Räder verliehen werden. Der Praktikant verteidigt sein Modell mit dem Hinweis, Sinuskurven seien natürlich für Tagesgänge. Die Leitung verlangt eine kritische Prüfung: Parameter anpassen, Modellgrenzen benennen und eine sinnvolle Kennzahl für den Tag berechnen.
1. Zeigen Sie, dass eine einfache Sinusfunktion mit Periode 24 und Maximum 200 um 18 Uhr nicht gleichzeitig um 22 Uhr den Wert 20 und um 8 Uhr einen niedrigen Wert liefern kann. Schlagen Sie eine begründete Modellanpassung vor.
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Eine Sinusfunktion mit Periode 24 hat die Form g(t)=a·sin(π/12·(t−c))+d. Ein Maximum 200 um 18 Uhr und ein Minimum 20 um 6 Uhr ergeben a=90, d=110 und c=12, also g(t)=90·sin(π/12·(t−12))+110. Dann ist g(18)=200, aber g(22)=90·sin(5π/6)+110=45+110=155, nicht 20. Ein Minimum um 22 Uhr würde bei Periode 24 ein Maximum um 10 Uhr erzwingen, nicht um 18 Uhr. Die drei Vorgaben sind mit einer einzelnen symmetrischen Sinusfunktion nicht vereinbar. Sinnvoll ist eine asymmetrische Anpassung, etwa eine stückweise Funktion, ein Spline oder eine Sinusfunktion mit kürzerer Periode für den Nachmittag; alternativ muss man die Vorgabe 22 Uhr lockern und als Messfehler oder Sonderfall behandeln.
2. Berechnen Sie mit g(t)=90·sin(π/12·(t−12))+110 die gesamten Ausleihen zwischen 8 und 22 Uhr und interpretieren Sie den Unterschied zwischen Momentanwert und Tagessumme.
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Die Tagessumme ist das Integral von g über 8 bis 22: ∫(90·sin(π/12·(t−12))+110)dt. Eine Stammfunktion ist −1080/π·cos(π/12·(t−12))+110t. Einsetzen der Grenzen ergibt (−1080/π)(cos(5π/6)−cos(−π/3))+110·14=(−1080/π)(−0,866−0,5)+1540≈469,6+1540≈2009,6. Also etwa 2010 Ausleihen. Der Momentanwert g(18)=200 bedeutet 200 Ausleihen pro Stunde in diesem Augenblick, nicht 200 Ausleihen für den ganzen Tag. Die Tagessumme entsteht durch Aufsummieren aller stündlichen Raten; sie ist deshalb deutlich größer als jeder einzelne Stundenwert.
3. Nennen Sie zwei Grenzen des Modells und erläutern Sie, wie man die Prognosegüte mit Messdaten prüfen könnte.
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Grenzen: Das Modell unterstellt einen glatten, periodischen Tagesgang und ignoriert Wetter, Wochentag, Ferien und Jahreszeit; im Winter ist die Nachfrage strukturell anders. Außerdem passt die einfache Sinusform die Evening-Daten nicht, wie der Wert 155 statt 20 um 22 Uhr zeigt. Zur Prüfung berechnet man Residuen zwischen Modell und Messwerten, etwa den mittleren quadratischen Fehler, und vergleicht alternative Modelle. Man sollte die Parameter nicht an einem einzigen Tag überanpassen, sondern an mehreren Tagen kalibrieren und an separaten Tagen validieren. So erkennt man, ob die Abweichungen zufällig oder systematisch sind.