Regenrückhaltebecken: Zufluss, Maximum und Mittelwert
Ein Regenrückhaltebecken enthält zu Beginn eines Unwetters 300 m³ Wasser. Die momentane Änderungsrate des Wasservolumens wird für 0≤t≤4 durch r(t)=80−20t und für 4<t≤8 durch r(t)=−15 beschrieben, wobei t in Stunden und r in m³/h angegeben ist. Ein Anwohner sieht, dass das Becken nach 4 Stunden am vollsten ist, und schließt daraus, dass es danach nur noch leerläuft. Der Betreiber möchte wissen, ob das Wasser zu keinem Zeitpunkt überläuft, wenn die Beckenkapazität 500 m³ beträgt, und wie stark das Volumen im Mittel über die 8 Stunden zunimmt. Außerdem liegt eine ungenaue Messung vor: Um t=4 wurde kurzzeitig ein positiver Wert registriert, obwohl das Modell dort null liefert.
1. Bestimmen Sie den Zeitpunkt und das maximale Wasservolumen im Becken. Begründen Sie mit dem Vorzeichen von r(t), warum dort ein Maximum vorliegt.
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Für 0≤t≤4 gilt V(t)=300+∫0^t(80−20u)du=300+80t−10t². Die Ableitung ist V'(t)=r(t)=80−20t; sie ist null bei t=4. Für t<4 ist r(t)>0, für t>4 ist r(t)<0. Also steigt das Volumen bis t=4 und fällt danach; bei t=4 liegt das Maximum. Einsetzen ergibt V(4)=300+320−160=460 m³. Die Kapazität von 500 m³ wird damit nicht überschritten; es bleiben 40 m³ Reserve. Für 4≤t≤8 gilt V(t)=460−15(t−4), sodass V(8)=400 m³ ist.
2. Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate über die gesamten 8 Stunden und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.
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Die Gesamtänderung ist V(8)−V(0)=400−300=100 m³. Die mittlere Änderungsrate über 8 Stunden beträgt 100/8=12,5 m³/h. Das ist der Nettoanstieg pro Stunde im Durchschnitt, obwohl das Becken nach t=4 Wasser abgibt. Der Mittelwert darf nicht mit dem Zeitpunkt des Maximums verwechselt werden: Das Maximum liegt bei t=4, die mittlere Rate beschreibt den gesamten Zeitraum. Formal gilt (1/8)∫0^8 r(t)dt=12,5; positive und negative Raten werden dabei verrechnet.
3. Beurteilen Sie die Messabweichung um t=4: Welche Konsequenz hätte ein kurzzeitig positiver Wert für die Maximumsaussage, und wie robust ist das Modell?
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Wäre r(4) kurzzeitig positiv, dann wäre die Ableitung von V dort nicht null; das Maximum läge etwas später als t=4. Bei einem kleinen Messausschlag ist die Verschiebung gering, und die Volumenänderung in der Nähe des Maximums ist klein, weil die Rate dort nahe null ist. Die Aussage maximal etwa 460 m³ bleibt daher robust. Kritisch wäre ein systematischer Fehler, etwa eine dauerhaft falsche Zuflussrate; dann müsste das Modell angepasst und die Kapazitätsreserve neu geprüft werden. Eine sinnvolle Reaktion ist eine Sensitivitätsanalyse mit einem Fehlerbereich um r(4).