Analysis: Funktionen, Differential- und Integralrechnung
Die Analysis prüft, ob Sie Funktionen sicher untersuchen und ihre Änderung beschreiben können: Ableitungen mit Produkt-, Quotienten- und Kettenregel, Kurvendiskussion mit Extrem- und Wendestellen, Tangenten und Normalen, Parameterscharen mit Ortskurven sowie Integralrechnung als Flächenberechnung und als Rekonstruktion von Beständen. In Sachsen treten Exponentialfunktionen der Form a·e^(kx)+b und der natürliche Logarithmus regelmäßig auf, häufig in Anwendungskontexten wie Wachstum, Abkühlung oder Konzentrationsverläufen.
Ableiten und Untersuchen
- Kettenregel: (f(u(x)))' = f'(u(x))·u'(x), insbesondere (e^(kx))' = k·e^(kx) und (ln x)' = 1/x für x > 0.
- Notwendige Bedingung für Extremstellen: f'(x) = 0. Hinreichend ist ein Vorzeichenwechsel von f' oder f''(x) ≠ 0.
- Wendestellen: f''(x) = 0 mit Vorzeichenwechsel von f''; die Wendetangente hat die Steigung f'(x_W).
- Nullstellen der Ableitung sind Kandidaten, nicht Ergebnisse – die Entscheidung folgt aus dem Krümmungs- oder Vorzeichenkriterium.
Integrieren
- Hauptsatz: ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a) mit F' = f.
- Flächeninhalt zwischen zwei Graphen: ∫ |f(x) − g(x)| dx, als Grenzen die Schnittstellen bestimmen.
- Bestandsrekonstruktion: Ist r die Änderungsrate eines Bestands B, so gilt B(b) − B(a) = ∫_a^b r(x) dx.
Beispiel: f(x) = x·e^(−x)
Produktregel: f'(x) = e^(−x) − x·e^(−x) = (1 − x)e^(−x). Aus f'(x) = 0 folgt x = 1; da f' bei 1 von positiv nach negativ wechselt, liegt dort das Maximum f(1) = 1/e ≈ 0,368. Zweite Ableitung: f''(x) = (x − 2)e^(−x), also Wendestelle x = 2 mit f(2) = 2/e² ≈ 0,271. Fläche über [0; 2]: ∫ x·e^(−x) dx = [−(x + 1)e^(−x)]_0^2 = 1 − 3e^(−2) ≈ 0,594. Die Stammfunktion wird durch Ableiten geprüft: (−(x + 1)e^(−x))' = x·e^(−x).
Typische Fehler
- Innere Ableitung beim Integrieren vergessen: ∫ e^(2x) dx = ½·e^(2x), nicht e^(2x).
- Flächen unterhalb der x-Achse ohne Betrag mitzählen und dadurch einen falschen Flächeninhalt ausweisen.
- Bei beschränktem Definitionsbereich oder Sachkontext die Randstellen nicht prüfen.
- Aus f''(x) = 0 ohne Vorzeichenwechsel auf einen Wendepunkt schließen.
- Den Definitionsbereich von ln (x > 0) ignorieren und dort Extremstellen suchen.