Lineare Algebra und analytische Geometrie: Vektoren, Geraden, Ebenen, Matrizen
Die analytische Geometrie prüft den sicheren Umgang mit Vektoren im Raum: Skalarprodukt und Orthogonalität, Geraden und Ebenen in Parameter-, Normalen- und Koordinatenform, Lagebeziehungen, Schnittwinkel und Abstände. Hinzu kommen Matrizen zur Beschreibung linearer Prozesse – etwa Übergangsmatrizen mit Fixvektoren – und das Lösen linearer Gleichungssysteme, in der Regel mit dem Gauß-Algorithmus.
Werkzeuge
- Skalarprodukt: a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃; a·b = 0 genau dann, wenn a ⊥ b; |a| = √(a·a).
- Kreuzprodukt (Leistungskurs): a × b steht senkrecht auf a und b und liefert einen Normalenvektor, etwa für eine Ebene durch drei Punkte.
- Ebene: x = p + s·u + t·v, äquivalent n·(x − p) = 0 und n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = d.
- Hessesche Normalenform: d(P, E) = |n·p − d| / |n|.
Lagebeziehungen
Zwei Geraden: Sind die Richtungsvektoren linear abhängig, sind sie parallel oder identisch (Punktprobe). Andernfalls liefert ein Gleichungssystem aus zwei Koordinaten einen Kandidaten für den Schnittpunkt, der in der dritten Koordinate geprüft wird; ein Widerspruch bedeutet windschief. Gerade und Ebene: Richtungsvektor in die Ebenengleichung einsetzen – genau eine Lösung ergibt den Durchstoßpunkt, keine Lösung Parallelität, unendlich viele Lösungen bedeuten, dass die Gerade in der Ebene liegt.
Beispiel
Gegeben sind E: 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 6 und der Ursprung P(0|0|0). Der Normalenvektor ist n = (2; −1; 2) mit |n| = √(4 + 1 + 4) = 3. Damit gilt für den Abstand d = |2·0 − 0 + 2·0 − 6| / 3 = 6/3 = 2. Kontrolle über den Lotfußpunkt: senkrechte Verschiebung des Ursprungs um t·n ergibt 4t + t + 4t = 9t = 6, also t = 2/3 und den Fußpunkt (4/3; −2/3; 4/3); dessen Abstand ist t·|n| = (2/3)·3 = 2.
Typische Fehler
- Winkel mit unnormierten Vektoren berechnen und den Nenner |a|·|b| vergessen.
- Beim Schnitt Gerade/Ebene den Parameter nicht in die Geradengleichung zurücksetzen und dadurch den Punkt nicht angeben.
- Kreuzprodukt in falscher Reihenfolge (Vorzeichenfehler) oder als Skalarprodukt verwenden.
- Bei Matrizen die im Unterricht verwendete Konvention der Übergangsmatrix (Zeilen/Spalten) verwechseln; die Multiplikation ist nicht kommutativ.
- Eine inverse Matrix ohne Prüfung von det ≠ 0 bilden.