Stochastik: Wahrscheinlichkeit, Zufallsgrößen, Binomialverteilung, Signifikanztests
Die Stochastik prüft Wahrscheinlichkeiten in mehrstufigen Zufallsexperimenten, bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit, Zufallsgrößen mit Erwartungswert und Standardabweichung, die Binomialverteilung sowie einfache Signifikanztests. Typisch sind Vierfeldertafeln, Baumdiagramme und Aufgaben, in denen ein Test auf einem vorgegebenen Signifikanzniveau entworfen oder beurteilt werden muss.
Grundlagen
- Laplace: P(A) = |A|/|Ω|, nur bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen anwendbar.
- Pfadregeln: entlang eines Pfades multiplizieren, über Pfade addieren; Gegenereignis P(Ā) = 1 − P(A).
- Bedingte Wahrscheinlichkeit: P_B(A) = P(A ∩ B)/P(B); unabhängig genau dann, wenn P(A ∩ B) = P(A)·P(B).
- Binomialverteilung B(n; p): P(X = k) = C(n, k)·p^k·(1 − p)^(n−k), E(X) = n·p, σ = √(n·p·(1 − p)).
Testen
- H₀ und H₁ vor der Datenerhebung festlegen, einseitig oder zweiseitig.
- Fehler 1. Art: H₀ wird verworfen, obwohl sie wahr ist; seine Wahrscheinlichkeit ist höchstens das Signifikanzniveau α.
- Fehler 2. Art: H₀ wird beibehalten, obwohl H₁ gilt.
- Kumulierte Wahrscheinlichkeiten über die Summe oder das Gegenereignis: P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1).
Beispiel
In einer Schule nutzen 40 % der Lernenden Plattform X, 30 % Plattform Y, 10 % beide. Dann ist P(X|Y) = 0,10/0,30 = 1/3, also rund 33 %. Unabhängig wären X und Y nur bei P(X ∩ Y) = 0,4·0,3 = 0,12; da 0,10 ≠ 0,12 gilt, sind die Ereignisse abhängig. Für die Anzahl X der Nutzer von X unter 20 zufällig gewählten Lernenden gilt X ~ B(20; 0,4), also E(X) = 8 und σ = √(20·0,4·0,6) = √4,8 ≈ 2,19.
Typische Fehler
- „Mindestens“ und „höchstens“ verwechseln und statt des Gegenereignisses die falsche Summe bilden.
- Binomialverteilung ansetzen, obwohl ohne Zurücklegen aus einer kleinen Grundgesamtheit gezogen wird.
- P(A|B) und P(B|A) gleichsetzen.
- α als Wahrscheinlichkeit deuten, dass H₀ wahr ist, obwohl der Test ablehnt.
- α erst nach Sicht der Daten festlegen oder den Ablehnungsbereich schätzen statt exakt über die kumulierte Binomialverteilung bestimmen.