Suite de concentration et seuil critique
Dans un réacteur chimique, la concentration d’un produit, exprimée en moles par litre, est modélisée par une suite (u_n). À l’instant initial, u_0 = 2. Pour tout entier n ≥ 0, la concentration évolue selon la relation u_{n+1} = (2u_n + 3)/(u_n + 2). Le technicien cherche à savoir si le processus se stabilise et à quelle valeur. Il sait que u_n reste positif, mais il doit le justifier rigoureusement. Il introduit ensuite v_n = (u_n − √3)/(u_n + √3) pour transformer la relation de récurrence. Le responsable qualité exige une réponse argumentée : la suite converge-t-elle, et la limite dépend-elle de la valeur initiale ? On demande aussi de vérifier que la concentration ne descend pas sous un seuil critique fixé à 1,5 mole par litre après quelques itérations.
1. Montrer par récurrence que, pour tout n ≥ 0, u_n > √3. En déduire que la concentration reste supérieure à 1,5 mole par litre.
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Initialisation : u_0 = 2 et 2 > √3 ≈ 1,732, donc la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : supposons u_n > √3. Alors u_n + 2 > 0 et
u_{n+1} − √3 = (2u_n + 3)/(u_n + 2) − √3 = [(2 − √3)u_n + 3 − 2√3]/(u_n + 2) = (2 − √3)(u_n − √3)/(u_n + 2).
Or 2 − √3 > 0 et u_n − √3 > 0, donc u_{n+1} − √3 > 0, c’est-à-dire u_{n+1} > √3. La propriété est héréditaire.
Conclusion : pour tout n, u_n > √3. Comme √3 ≈ 1,732 > 1,5, la concentration reste au-dessus du seuil critique dès le départ et à chaque itération.
2. On pose v_n = (u_n − √3)/(u_n + √3). Montrer que (v_n) est géométrique et préciser sa raison et son premier terme.
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On calcule v_{n+1} en utilisant l’expression de u_{n+1} − √3 et de u_{n+1} + √3. On a
u_{n+1} + √3 = (2u_n + 3)/(u_n + 2) + √3 = [(2 + √3)u_n + 3 + 2√3]/(u_n + 2) = (2 + √3)(u_n + √3)/(u_n + 2).
Donc
v_{n+1} = [(2 − √3)(u_n − √3)]/[(2 + √3)(u_n + √3)] = [(2 − √3)/(2 + √3)] v_n.
La suite est géométrique de raison q = (2 − √3)/(2 + √3). En multipliant numérateur et dénominateur par (2 − √3), on obtient q = (2 − √3)^2 = 7 − 4√3 ≈ 0,0718. Son premier terme est v_0 = (2 − √3)/(2 + √3) = q.
3. Déterminer la limite de (u_n). La concentration se stabilise-t-elle au-dessus de 1,5 mole par litre ?
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Comme 0 < q < 1, la suite géométrique (v_n) converge vers 0. De plus v_n = q^(n+1).
De la définition v_n = (u_n − √3)/(u_n + √3), on tire u_n en fonction de v_n :
v_n(u_n + √3) = u_n − √3, donc u_n(1 − v_n) = √3(1 + v_n), d’où u_n = √3(1 + v_n)/(1 − v_n).
Comme v_n → 0 et 1 − v_n → 1, on obtient lim u_n = √3(1 + 0)/(1 − 0) = √3. La suite converge vers √3 ≈ 1,732.
La limite ne dépend pas de u_0 ici car la relation de récurrence possède un seul point fixe positif attractif. La concentration se stabilise donc à √3 mole par litre, valeur supérieure à 1,5. Comme u_n > √3 pour tout n, le seuil n’est jamais franchi par le bas.