Bac Mathématiques Algeria key terms

Nombre réel L tel que f(x) s'approche d'aussi près que voulu de L dès que x s'approche de a, sans nécessairement atteindre a. On note lim(x→a) f(x) = L.

Valeurs vers lesquelles f(x) tend lorsque x s'approche de a en restant supérieur (ou inférieur) à a. La limite en a existe si et seulement si ces deux limites existent et sont égales.

Expression comme 0/0, ∞/∞, ∞−∞, 0×∞ ou 1^∞ obtenue en substituant brutalement la valeur; elle exige une transformation algébrique (factorisation, conjugué, taux d'accroissement) avant de conclure.

Si g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) au voisinage de a et si g et h tendent vers la même limite L en a, alors f tend aussi vers L. Utile pour les fonctions oscillantes ou à valeurs absolues.

Propriété d'une fonction vérifiant lim(x→a) f(x) = f(a), ce qui suppose que f est définie en a et que la limite y existe. Graphiquement, la courbe ne présente pas de saut en a.

Si f est continue sur [a,b] et si k est compris entre f(a) et f(b), alors l'équation f(x) = k admet au moins une solution dans [a,b]. Avec la stricte monotonie, cette solution devient unique.

Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I réalise une bijection de I sur l'intervalle image f(I); tout réel de f(I) possède alors un unique antécédent dans I.

f est dérivable en a si le taux d'accroissement (f(a+h)−f(a))/h admet une limite finie quand h tend vers 0; cette limite est f′(a), coefficient directeur de la tangente en a.

Droite passant par le point A(a, f(a)) de coefficient directeur f′(a), d'équation y = f′(a)(x−a) + f(a). C'est la meilleure approximation affine locale de la fonction.

Sur un intervalle, le signe de f′ donne le sens de variation de f : f′ ≥ 0 signifie f croissante, f′ ≤ 0 signifie f décroissante. Un changement de signe de f′ signale un extremum local.

Point où la fonction atteint un maximum ou un minimum par rapport à un voisinage seulement. Pour une fonction dérivable, la dérivée s'y annule en changeant de signe.

Si f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et f(a) = f(b), il existe c dans ]a,b[ tel que f′(c) = 0. Il justifie l'existence d'un point à tangente horizontale.

Sous les hypothèses de continuité sur [a,b] et de dérivabilité sur ]a,b[, il existe c tel que f′(c) = (f(b)−f(a))/(b−a). Le taux d'accroissement moyen est atteint comme dérivée instantanée.

Unique primitive sur ]0,+∞[ de x ↦ 1/x s'annulant en 1. Elle transforme les produits en sommes : ln(ab) = ln a + ln b, et sa dérivée vaut 1/x.

Réciproque du logarithme népérien, notée exp, définie sur ℝ, toujours strictement positive, avec exp′ = exp et exp(0) = 1. Elle vérifie exp(x+y) = exp(x)·exp(y).

Limites montrant la hiérarchie ln x ≪ x ≪ e^x en +∞ : par exemple lim(e^x/x) = +∞ et lim(ln x/x) = 0. Elles tranchent les formes indéterminées mêlant ces fonctions.

Équation dont les solutions sont les fonctions x ↦ C·e^{ax} − b/a (si a ≠ 0), où C est une constante réelle. Une condition initiale détermine la valeur de C.

Fonction définie sur une partie de ℕ, notée (u_n), qui associe à chaque entier n un réel u_n. Elle peut être donnée par une formule explicite ou par récurrence.

Suite où l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant une constante r : u_{n+1} = u_n + r. Alors u_n = u_0 + nr et la somme des termes se calcule par la formule des n premiers entiers.

Suite où l'on multiplie par une constante q non nulle : u_{n+1} = q·u_n, d'où u_n = u_0·q^n. Sa convergence dépend du signe de u_0 et de la position de q par rapport à 1 et −1.

Suite admettant une limite finie ℓ : tout intervalle ouvert contenant ℓ contient tous les termes à partir d'un certain rang. Sinon elle est divergente.

Suite croissante et majorée, ou décroissante et minorée, est toujours convergente. C'est l'outil principal pour prouver l'existence d'une limite sans la calculer.

Suite définie par un premier terme et une relation de récurrence via une fonction f. On étudie sa monotonie et ses points fixes, solutions de f(x) = x, pour conjecturer puis démontrer la limite.

Couple de suites (u_n) croissante et (v_n) décroissante telles que v_n − u_n tende vers 0. Elles convergent alors vers une même limite commune, ce qui encadre la valeur cherchée.

Fonction F dont la dérivée est f sur un intervalle. Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante; on note souvent F + C.

Pour f continue positive sur [a,b], aire sous la courbe, égale à F(b) − F(a) où F est une primitive quelconque de f. Ce nombre ne dépend pas du choix de la primitive.

Formule ∫u′v = [uv] − ∫uv′, issue de la dérivation d'un produit. Elle permet de calculer des intégrales contenant x·e^x, x·ln x ou ln x seul.

Pour f continue sur [a,b], nombre (1/(b−a))·∫_a^b f(x)dx. C'est la hauteur d'un rectangle de base b−a ayant la même aire que le domaine sous la courbe.

Écriture z = a + ib avec a et b réels, a étant la partie réelle et b la partie imaginaire. Les calculs suivent les règles usuelles en remplaçant i² par −1.

Pour z = a + ib, le nombre z̄ = a − ib. On a z·z̄ = |z|², ce qui sert à rendre réel un dénominateur complexe et à simplifier des quotients.

Le module |z| = √(a²+b²) est la distance de l'origine au point d'affixe z; l'argument θ est l'angle orienté avec l'axe réel, défini modulo 2π.

Écriture z = r(cos θ + i sin θ) avec r = |z| et θ un argument de z. Elle rend faciles les produits, quotients et puissances de complexes.

Notation z = r·e^{iθ} où r > 0 et θ est un argument. Elle découle de la formule d'Euler et simplifie l'écriture des rotations et des racines n-ièmes.

Identité (cos θ + i sin θ)^n = cos(nθ) + i sin(nθ), valable pour tout entier n. Elle permet de linéariser des puissances de cosinus et sinus.

Solutions de z^n = Z. Si Z = r·e^{iθ}, elles sont les n nombres r^{1/n}·e^{i(θ+2kπ)/n} pour k = 0,…,n−1, sommets d'un polygone régulier.

a divise b s'il existe un entier k tel que b = ak. On note a | b. La division euclidienne de b par a ≠ 0 s'écrit b = aq + r avec 0 ≤ r < |a|.

a ≡ b (mod n) signifie que n divise a − b. Cette relation est compatible avec l'addition et la multiplication, ce qui permet de simplifier les calculs de restes.

Deux entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement s'il existe des entiers u et v tels que au + bv = 1. L'algorithme d'Euclide étendu fournit un tel couple.

Si a divise bc et si a est premier avec b, alors a divise c. C'est l'outil clé pour simplifier une congruence par un facteur inversible.

Calcul du PGCD par divisions euclidiennes successives : PGCD(a,b) = PGCD(b,r) tant que r ≠ 0. Sa version étendue remonte les divisions pour obtenir les coefficients de Bézout.

Pour vecteurs u et v, nombre réel u·v = |u||v|cos θ, aussi égal à xx′ + yy′ en repère orthonormé. Il mesure l'angle et permet d'établir l'orthogonalité.

Dans l'espace orienté, vecteur u ∧ v orthogonal à u et v, de norme |u||v|sin θ, nul si les vecteurs sont colinéaires. Il sert à trouver une normale à un plan.

Écriture ax + by + cz + d = 0 où (a,b,c) est un vecteur normal au plan. Réciproquement, tout triplet non nul (a,b,c) définit une direction de plan.

Système x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct où t décrit ℝ, le point (x₀,y₀,z₀) appartenant à la droite et (a,b,c) étant un vecteur directeur.

P(B|A) = P(A∩B)/P(A), définie si P(A) ≠ 0. Elle exprime la probabilité de B sachant A réalisé, et permet de construire un arbre pondéré.

Si les événements A₁,…,A_n forment une partition de l'univers, alors P(B) = Σ P(A_i)·P(B|A_i). Elle décompose un calcul en branches d'un arbre.

A et B sont indépendants lorsque P(A∩B) = P(A)·P(B), ce qui équivaut à P(B|A) = P(B) si P(A) ≠ 0. À ne pas confondre avec l'incompatibilité.

Fonction qui associe un réel à chaque issue d'une expérience. Sa loi est donnée par les probabilités P(X = x_i), et son espérance vaut Σ x_i·P(X = x_i).

Loi du nombre de succès dans n épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre p. On a P(X = k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^{n−k}, espérance np et variance np(1−p).

Preuve en deux étapes : initialisation de la propriété au rang de départ, puis hérédité montrant que si elle est vraie au rang n, elle l'est au rang n+1. Elle conclut pour tous les rangs suivants.

Pour prouver « A implique B », on démontre que « non B implique non A », proposition logiquement équivalente. Souvent plus simple quand la négation de la conclusion est parlante.

On suppose la négation de l'énoncé à démontrer et on en déduit une contradiction, par exemple un entier à la fois pair et impair. La négation étant fausse, l'énoncé est vrai.

On partage les situations possibles en un nombre fini de cas exhaustifs et on traite chacun séparément. Fréquent en arithmétique avec les restes modulo 2, 3 ou 4.