Bac Mathématiques Algeria flashcards

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Théorème des valeurs intermédiaires

Si f est continue sur [a,b] et si k est compris entre f(a) et f(b), alors l'équation f(x)=k admet au moins une solution dans [a,b]. L'unicité exige la stricte monotonie.

Dérivabilité en un point

f est dérivable en a si le taux (f(a+h)−f(a))/h admet une limite finie quand h tend vers 0 ; cette limite est f′(a). Dérivable implique continu, mais la réciproque est fausse.

Théorème de Rolle

Si f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et f(a)=f(b), alors il existe c dans ]a,b[ tel que f′(c)=0. La tangente est horizontale en c.

Croissances comparées en +∞

Pour a>0 et b>0, (ln x)^b/x^a tend vers 0 et x^a/e^{bx} tend vers 0. L'exponentielle domine toute puissance, qui domine tout logarithme.

Propriétés algébriques du logarithme

Pour a,b>0 : ln(ab)=ln a+ln b, ln(a/b)=ln a−ln b, ln(aⁿ)=n ln a. Ces formules transforment produits en sommes et permettent de résoudre les équations exponentielles.

Dérivée de ln(u)

Sur tout intervalle où u est dérivable et strictement positive, la dérivée de ln(u) est u′/u. Pour ln|u|, la même formule vaut sur tout intervalle où u ne s'annule pas.

Théorème des gendarmes

Si vₙ≤uₙ≤wₙ à partir d'un certain rang et si les suites (vₙ) et (wₙ) convergent vers la même limite L, alors la suite (uₙ) converge aussi vers L.

Convergence monotone

Toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge. La limite est alors la borne supérieure (ou inférieure) de l'ensemble des termes.

Suite récurrente et point fixe

Pour uₙ₊₁=f(uₙ) avec f continue, si (uₙ) converge vers L, alors L=f(L). Les limites possibles sont donc les solutions de l'équation f(x)=x.

Théorème fondamental du calcul intégral

Si f est continue sur [a,b] et F une primitive de f, alors ∫ₐᵇ f(x)dx=F(b)−F(a). L'intégrale se calcule donc en évaluant une primitive aux bornes.

Intégration par parties

∫ₐᵇ u′v dx=[uv]ₐᵇ−∫ₐᵇ uv′ dx. On choisit u′ facile à intégrer et v facile à dériver, par exemple pour ∫x e^x dx ou ∫x ln x dx.

Primitive de u′/u

Si u est dérivable et ne s'annule pas sur un intervalle I, alors une primitive de u′/u est ln|u|. C'est la forme composée de la primitive 1/x → ln|x|.

Formule de Moivre

Pour tout réel θ et tout entier n : (cos θ+i sin θ)ⁿ=cos(nθ)+i sin(nθ). Elle permet de linéariser des puissances de cosinus et de sinus.

Interprétation géométrique du module

|z−z_A| représente la distance entre le point M d'affixe z et le point A d'affixe z_A. L'ensemble des points tels que |z−z_A|=R est un cercle de centre A et de rayon R.

Argument d'un quotient

arg((z−z_A)/(z−z_B)) est une mesure de l'angle orienté entre les vecteurs MA et MB. Cette formule sert à démontrer alignements, orthogonalités et triangles particuliers.

Formule d'Euler

Pour tout réel θ, e^{iθ}=cos θ+i sin θ. En particulier e^{iπ}=−1 et e^{iπ/2}=i. Elle relie forme exponentielle et forme trigonométrique d'un complexe.

Théorème de Bézout

Deux entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement s'il existe des entiers u et v tels que au+bv=1. Les coefficients u et v s'obtiennent par l'algorithme d'Euclide étendu.

Théorème de Gauss

Si a divise bc et si pgcd(a,b)=1, alors a divise c. C'est l'outil clé pour simplifier les congruences et résoudre les équations diophantiennes.

Petit théorème de Fermat

Si p est un nombre premier et si p ne divise pas a, alors a^{p−1}≡1 modulo p. Plus généralement, a^p≡a modulo p pour tout entier a.

Congruence modulo n

a≡b [n] signifie que n divise a−b. Cette relation est compatible avec l'addition et la multiplication, ce qui permet de réduire les calculs modulo n avant de conclure.

Équation ax≡b modulo n

Elle admet des solutions si et seulement si d=pgcd(a,n) divise b. Les solutions sont alors de la forme x≡x₀ modulo n/d, où x₀ est une solution particulière.

Produit scalaire et orthogonalité

Dans l'espace, u⃗·v⃗=xx′+yy′+zz′. Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul ; la norme vaut |u⃗|=√(u⃗·u⃗).

Produit vectoriel dans l'espace

u⃗∧v⃗=(yz′−zy′, zx′−xz′, xy′−yx′). Il est orthogonal à u⃗ et à v⃗, sa norme vaut |u⃗||v⃗| sin θ, et il est nul si et seulement si les vecteurs sont colinéaires.

Distance d'un point à un plan

Pour un plan d'équation ax+by+cz+d=0 et un point M₀(x₀,y₀,z₀), la distance vaut |ax₀+by₀+cz₀+d|/√(a²+b²+c²). Le vecteur (a,b,c) est normal au plan.

Équation cartésienne d'un plan

Un plan de vecteur normal n⃗=(a,b,c) passant par A a pour équation a(x−x_A)+b(y−y_A)+c(z−z_A)=0, soit ax+by+cz+d=0 après développement.

Formule des probabilités totales

Si {B₁,…,Bₙ} forme une partition de l'univers, alors P(A)=Σ P(Bᵢ)P(A|Bᵢ). Cette formule permet de calculer une probabilité en décomposant selon des cas exhaustifs.

Loi binomiale B(n,p)

P(X=k)=C(n,k) p^k (1−p)^{n−k} pour k entre 0 et n. Elle modélise n épreuves identiques et indépendantes à deux issues, avec E(X)=np et V(X)=np(1−p).

Indépendance en probabilité

Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si P(A∩B)=P(A)P(B). Ce n'est pas la même chose que l'incompatibilité, où A∩B est vide.

Espérance et variance

E(X)=Σ xᵢ P(X=xᵢ) et V(X)=E(X²)−(E(X))². On a E(aX+b)=aE(X)+b et V(aX+b)=a²V(X) ; l'écart-type vaut σ=√V(X).

Raisonnement par contraposée

Pour démontrer « P ⇒ Q », on prouve « non Q ⇒ non P ». Les deux énoncés sont logiquement équivalents, ce qui permet de choisir la forme la plus simple à rédiger.

Raisonnement par récurrence

On vérifie la propriété au rang initial, puis on suppose qu'elle est vraie au rang n pour prouver qu'elle l'est au rang n+1. Les deux étapes sont indispensables pour conclure.

Raisonnement par l'absurde

On suppose la négation de la conclusion en gardant les hypothèses, puis on aboutit à une contradiction. Cette méthode prouve notamment l'irrationalité de √2 et l'unicité d'une limite.