Bac Mathématiques Algeria cheat sheet

Théorème des valeurs intermédiaires : si f est continue sur [a,b] et si k est compris entre f(a) et f(b), alors l'équation f(x)=k admet au moins une solution dans [a,b] ; si f est de plus strictement monotone, cette solution est unique.

Théorème de la bijection : f continue et strictement monotone sur I réalise une bijection de I sur f(I), et sa réciproque f⁻¹ est continue sur f(I).

Dérivabilité en a : f est dérivable en a si et seulement si le taux (f(a+h)−f(a))/h admet une limite finie quand h tend vers 0 ; cette limite est f′(a).

Si f est dérivable en a alors f est continue en a ; la réciproque est fausse (exemple : x ↦ |x| en 0).

(u+v)′=u′+v′, (uv)′=u′v+uv′, (u/v)′=(u′v−uv′)/v² avec v≠0, (u∘v)′=v′×(u′∘v).

(√u)′=u′/(2√u) pour u>0 ; (uⁿ)′=n u′ uⁿ⁻¹ ; (1/u)′=−u′/u².

Formes indéterminées usuelles : 0/0, ∞/∞, ∞−∞, 0×∞ ; lever en factorisant le terme dominant ou en utilisant les croissances comparées.

Croissances comparées en +∞ : pour a>0 et b>0, (ln x)^b / x^a → 0 et x^a / e^{bx} → 0 ; donc e^x domine toute puissance, qui domine tout logarithme.

Asymptote oblique y=ax+b en ±∞ lorsque f(x)−(ax+b) tend vers 0 ; asymptote verticale x=a lorsque |f(x)| tend vers +∞ quand x tend vers a.

ln est définie sur ]0,+∞[, strictement croissante, avec ln 1=0 et ln e=1 ; sa dérivée est 1/x et sa courbe admet une asymptote verticale en 0⁺.

Propriétés algébriques : ln(ab)=ln a+ln b, ln(a/b)=ln a−ln b, ln(aⁿ)=n ln a, ln(√a)=½ ln a, valables pour a,b>0.

exp est définie sur ℝ, strictement croissante, positive ; exp(ln x)=x pour x>0 et ln(exp x)=x pour tout réel x.

exp(a+b)=exp a × exp b, exp(−a)=1/exp a, exp(na)=(exp a)ⁿ ; exp′(x)=exp x et (exp(u))′=u′ exp(u).

Limites fondamentales : lim_{x→+∞} (ln x)/x = 0, lim_{x→0⁺} x ln x = 0, lim_{x→+∞} e^x/x = +∞, lim_{x→−∞} x e^x = 0.

Croissance comparée : pour tout n entier, lim_{x→+∞} e^x/xⁿ = +∞ et lim_{x→+∞} (ln x)/xⁿ = 0 ; exponentielle l'emporte sur toute puissance, qui l'emporte sur le logarithme.

Équations : ln x = a ⇔ x = e^a (avec x>0) ; e^x = b ⇔ x = ln b (avec b>0) ; ln x = ln y ⇔ x = y > 0.

Fonction x ↦ a^x = e^{x ln a} pour a>0 : dérivée (ln a) a^x ; croissante si a>1, décroissante si 0<a<1.

Primitives : une primitive de 1/x sur ]0,+∞[ est ln x ; une primitive de u′/u (u>0) est ln u ; une primitive de u′e^u est e^u.

Suite arithmétique : uₙ=u₀+nr, somme des n+1 premiers termes = (n+1)(u₀+uₙ)/2 ; suite géométrique : uₙ=u₀qⁿ, somme = u₀(1−q^{n+1})/(1−q) si q≠1.

Monotonie : uₙ₊₁−uₙ ≥ 0 ⇔ suite croissante ; pour une suite à termes strictement positifs, uₙ₊₁/uₙ ≥ 1 ⇔ suite croissante.

Suite majorée, minorée, bornée : majorée s'il existe M tel que uₙ ≤ M pour tout n ; bornée si majorée et minorée.

Convergence : (uₙ) converge vers L si tout intervalle ouvert contenant L contient tous les termes à partir d'un certain rang ; une suite convergente est bornée.

Théorème des gendarmes : si vₙ ≤ uₙ ≤ wₙ et si vₙ et wₙ tendent vers L, alors uₙ tend vers L.

Théorème de convergence monotone : toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge.

Suites adjacentes : (uₙ) croissante, (vₙ) décroissante et vₙ−uₙ → 0 ; alors elles convergent vers la même limite et uₙ ≤ vₙ pour tout n.

Suite récurrente uₙ₊₁=f(uₙ) : si (uₙ) converge vers L et si f est continue en L, alors L=f(L) ; les candidats limites sont les points fixes de f.

Suites de la forme uₙ=f(n) : si f(x) tend vers L quand x→+∞, alors uₙ tend vers L ; réciproque fausse (exemple : suites oscillantes).

F est une primitive de f sur I si F′=f sur I ; deux primitives de f diffèrent d'une constante, d'où la notation ∫f(x)dx = F(x)+C.

Théorème fondamental : si f est continue sur [a,b] et F une primitive de f, alors ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b)−F(a).

Linéarité : ∫ₐᵇ (αf+βg) = α∫ₐᵇ f + β∫ₐᵇ g ; relation de Chasles : ∫ₐᵇ f + ∫_b^c f = ∫ₐ^c f.

Positivité : si f ≥ 0 sur [a,b] avec a<b, alors ∫ₐᵇ f ≥ 0 ; si f ≤ g alors ∫ₐᵇ f ≤ ∫ₐᵇ g (inégalité de la moyenne).

Intégration par parties : ∫ₐᵇ u′v = [uv]ₐᵇ − ∫ₐᵇ uv′ ; utile pour x e^x, x ln x, x cos x.

Primitives usuelles : xⁿ → x^{n+1}/(n+1) (n≠−1) ; 1/x → ln|x| ; e^x → e^x ; cos x → sin x ; sin x → −cos x ; 1/cos²x → tan x.

Formes composées : u′uⁿ → u^{n+1}/(n+1) ; u′/u → ln|u| ; u′e^u → e^u ; u′/√u → 2√u ; u′/(1+u²) → arctan u.

Valeur moyenne de f sur [a,b] : m = (1/(b−a))∫ₐᵇ f(x)dx ; elle est comprise entre min f et max f sur [a,b].

Aire entre deux courbes : si f ≥ g sur [a,b], l'aire du domaine délimité est ∫ₐᵇ (f(x)−g(x))dx ; le résultat est en unités d'aire (u.a.), à multiplier par l'unité graphique.

Forme algébrique z=a+ib avec a=Re(z), b=Im(z) ; conjugué z̄=a−ib ; module |z|=√(a²+b²) ; z z̄=|z|².

Opérations : (a+ib)(c+id)=(ac−bd)+i(ad+bc) ; pour le quotient, multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.

Forme trigonométrique : z=r(cos θ+i sin θ) avec r=|z| et θ=arg(z) ; produit : les modules se multiplient, les arguments s'additionnent.

Formule de Moivre : (cos θ+i sin θ)ⁿ=cos(nθ)+i sin(nθ) ; notation exponentielle z=r e^{iθ}.

Formule d'Euler : e^{iθ}=cos θ+i sin θ ; e^{iπ}=−1 ; e^{iπ/2}=i.

Racines n-ièmes de l'unité : zⁿ=1 ⇔ z=e^{2ikπ/n} pour k=0,1,…,n−1 ; elles forment un polygone régulier inscrit dans le cercle unité.

Équation du second degré à coefficients réels : Δ=b²−4ac ; si Δ<0, z=(−b±i√(−Δ))/(2a).

Interprétation géométrique : |z−z_A| est la distance AM ; |z−z_A|=|z−z_B| définit la médiatrice de [AB] ; arg((z−z_A)/(z−z_B)) est une mesure de l'angle orienté (MA, MB).

Transformations : z ↦ z+b est une translation de vecteur d'affixe b ; z ↦ e^{iθ}z est une rotation de centre O et d'angle θ ; z ↦ kz (k réel) est une homothétie de rapport k.

a|b signifie qu'il existe k∈Z tel que b=ka ; si a|b et b|c alors a|c ; si a|b et a|c alors a|(bu+cv) pour tous u,v∈Z.

Division euclidienne : pour a∈Z et b∈ℕ*, il existe un unique couple (q,r) avec a=bq+r et 0≤r<b.

Congruence modulo n : a≡b [n] ⇔ n|(a−b) ; compatible avec addition et multiplication ; on peut donc réduire les calculs modulo n.

Théorème de Bézout : a et b sont premiers entre eux si et seulement s'il existe u,v∈Z tels que au+bv=1 ; les coefficients s'obtiennent par l'algorithme d'Euclide étendu.

Théorème de Gauss : si a|bc et si pgcd(a,b)=1, alors a|c.

Lemme d'Euclide : si p est premier et si p|ab, alors p|a ou p|b.

Théorème de Fermat : si p est premier et si p∤a, alors a^{p−1}≡1 [p] ; plus généralement a^p≡a [p] pour tout a.

Équation ax≡b [n] : admet des solutions si et seulement si pgcd(a,n)|b ; les solutions sont alors de la forme x≡x₀ [n/d] avec d=pgcd(a,n).

Petit théorème de Wilson : p est premier si et seulement si (p−1)!≡−1 [p] ; utile pour les calculs de factorielles modulo p.

Produit scalaire dans le plan : u⃗·v⃗=xx′+yy′=|u⃗||v⃗|cos θ ; orthogonalité ⇔ u⃗·v⃗=0 ; norme |u⃗|=√(u⃗·u⃗).

Dans l'espace : u⃗·v⃗=xx′+yy′+zz′ ; u⃗ et v⃗ orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

Équation cartésienne d'un plan : ax+by+cz+d=0, où n⃗=(a,b,c) est un vecteur normal au plan ; un point A(x₀,y₀,z₀) du plan vérifie ax₀+by₀+cz₀+d=0.

Distance d'un point M₀ à un plan P : d(M₀,P)=|ax₀+by₀+cz₀+d|/√(a²+b²+c²).

Produit vectoriel dans l'espace : u⃗∧v⃗=(yz′−zy′, zx′−xz′, xy′−yx′) ; il est orthogonal à u⃗ et à v⃗, et |u⃗∧v⃗|=|u⃗||v⃗| sin θ.

Aire d'un triangle ABC : ½|AB⃗∧AC⃗| ; les vecteurs u⃗ et v⃗ sont colinéaires si et seulement si u⃗∧v⃗=0⃗.

Volume du parallélépipède construit sur u⃗, v⃗, w⃗ : |det(u⃗,v⃗,w⃗)|=|(u⃗∧v⃗)·w⃗|.

Équation d'une droite de l'espace : représentation paramétrique x=x₀+at, y=y₀+bt, z=z₀+ct, où (a,b,c) est un vecteur directeur et (x₀,y₀,z₀) un point de la droite.

Dans le plan : équation cartésienne de la droite passant par A(x₀,y₀) et de vecteur normal (a,b) : a(x−x₀)+b(y−y₀)=0 ; distance de M à la droite d'équation ax+by+c=0 : |ax_M+by_M+c|/√(a²+b²).

Probabilité : P(Ω)=1, P(∅)=0, P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) ; P(Ā)=1−P(A).

Probabilité conditionnelle : P(A|B)=P(A∩B)/P(B) pour P(B)>0 ; formule des probabilités composées P(A∩B)=P(B)P(A|B).

Formule des probabilités totales : si {B₁,…,Bₙ} forme une partition de Ω, alors P(A)=Σ P(Bᵢ)P(A|Bᵢ).

Formule de Bayes : P(Bᵢ|A)=P(Bᵢ)P(A|Bᵢ)/Σⱼ P(Bⱼ)P(A|Bⱼ).

Indépendance : A et B indépendants ⇔ P(A∩B)=P(A)P(B) ; ne pas confondre avec l'incompatibilité (A∩B=∅).

Variable aléatoire discrète : espérance E(X)=Σ xᵢ P(X=xᵢ) ; variance V(X)=E(X²)−(E(X))² ; écart-type σ=√V(X).

Loi binomiale B(n,p) : P(X=k)=C(n,k) p^k (1−p)^{n−k} ; E(X)=np, V(X)=np(1−p).

Statistiques descriptives : moyenne x̄=(1/n)Σ xᵢ ; médiane partage la série ordonnée en deux ; écart-type mesure la dispersion autour de la moyenne.

Fréquences : fréquence d'une modalité = effectif de la modalité / effectif total ; les fréquences cumulées croissantes servent à lire la médiane sur un graphique.

Raisonnement direct : pour démontrer « P ⇒ Q », on suppose P vraie et on en déduit Q par une suite d'implications logiques.

Raisonnement par contraposée : pour prouver « P ⇒ Q », on démontre « non Q ⇒ non P » ; équivalent logiquement.

Raisonnement par l'absurde : on suppose P vraie et Q fausse, et on aboutit à une contradiction ; utile pour l'irrationalité de √2 ou l'unicité d'une limite.

Récurrence : initialisation (vérifier la propriété au rang de départ), hérédité (supposer la propriété vraie au rang n et prouver qu'elle est vraie au rang n+1), conclusion.

Contre-exemple : un seul contre-exemple suffit pour réfuter un énoncé universel « pour tout x, P(x) » ; il ne prouve jamais un énoncé existentiel.

Disjonction des cas : partager l'ensemble des possibles en cas exhaustifs et démontrer la propriété dans chacun d'eux.

Équivalence : « P ⇔ Q » exige deux implications ; vérifier les deux sens avant de conclure.

Analyse-synthèse : on suppose l'objet cherché existant (analyse), on en déduit ses propriétés, puis on vérifie réciproquement que l'objet trouvé convient (synthèse).

Rédaction : énoncer clairement hypothèses, théorème utilisé et conclusion ; les théorèmes (TVI, gendarmes, Bézout, Gauss) doivent être nommés et leurs hypothèses vérifiées.

Continuité en a : lim_{x→a} f(x)=f(a) ; continuité sur un intervalle si elle a lieu en tout point.

Théorème de Rolle : si f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et f(a)=f(b), alors il existe c∈]a,b[ tel que f′(c)=0.

Théorème des accroissements finis : il existe c∈]a,b[ tel que f(b)−f(a)=f′(c)(b−a).

Lien dérivée/sens de variation : si f′≥0 sur I alors f est croissante sur I ; si f′≤0 alors f est décroissante.

Limite en l'infini : f(x)→L signifie que pour tout ε>0, il existe A tel que |f(x)−L|<ε dès que x>A.

Opérations sur les limites : somme, produit, quotient et composition se transmettent, sauf en cas de forme indéterminée.

Dérivée de la composée : (f∘g)′(x)=g′(x)×f′(g(x)) ; dérivée de la réciproque : (f⁻¹)′(y)=1/f′(x) avec y=f(x) et f′(x)≠0.

ln est la bijection réciproque de exp sur ]0,+∞[ ; exp est la bijection réciproque de ln sur ℝ.

Courbe de ln : passe par (1,0) et (e,1) ; asymptote verticale x=0 ; courbe de exp : passe par (0,1) et (1,e) ; asymptote horizontale y=0 en −∞.

ln x < 0 pour 0<x<1 ; ln x > 0 pour x>1 ; e^x > 1 pour x>0 et e^x < 1 pour x<0.

Dérivée de ln(u) : u′/u, valable sur tout intervalle où u>0 ; dérivée de ln|u| : u′/u sur tout intervalle où u≠0.

Équation différentielle y′=ky : solutions y(x)=C e^{kx}, où C est déterminé par une condition initiale.

Inégalités utiles : pour tout x, e^x ≥ 1+x ; pour x>0, ln x ≤ x−1.

Dérivée de a^x : (a^x)′=a^x ln a ; primitive de a^x : a^x/ln a pour a>0, a≠1.

Suite bornée : il existe M tel que |uₙ|≤M pour tout n ; toute suite convergente est bornée, mais la réciproque est fausse.

Suite divergente vers +∞ : pour tout A, uₙ>A à partir d'un certain rang ; une suite croissante non majorée diverge vers +∞.

Suite géométrique : qⁿ→0 si |q|<1 ; qⁿ→1 si q=1 ; qⁿ→+∞ si q>1 ; qⁿ n'a pas de limite si q≤−1.

Suite récurrente arithmético-géométrique uₙ₊₁=auₙ+b : poser vₙ=uₙ−ℓ où ℓ=b/(1−a) (a≠1) ; (vₙ) est géométrique de raison a.

Théorème de comparaison : si uₙ≥vₙ à partir d'un certain rang et vₙ→+∞, alors uₙ→+∞.

Suite extraite : si (uₙ) converge vers L, toute suite extraite converge aussi vers L ; si deux suites extraites ont des limites différentes, (uₙ) diverge.

Suite définie par uₙ=f(n) : la limite de uₙ est celle de f(x) quand x→+∞, si elle existe.

Intégrale et aire algébrique : ∫ₐᵇ f(x)dx est l'aire sous la courbe comptée positivement au-dessus de l'axe et négativement en dessous.

Si f est impaire sur [−a,a], ∫₋ₐᵃ f=0 ; si f est paire, ∫₋ₐᵃ f=2∫₀ᵃ f.

Dérivée de x ↦ ∫ₐˣ f(t)dt est f(x), lorsque f est continue sur l'intervalle contenant a et x.

Primitive de 1/(ax+b) : (1/a)ln|ax+b| pour a≠0 ; primitive de e^{ax+b} : (1/a)e^{ax+b}.

Primitive de tan x : −ln|cos x| sur un intervalle où cos x≠0.

Intégration par parties : choisir u′ facile à intégrer et v facile à dériver, par exemple u′=e^x et v=x pour ∫x e^x dx.

Encadrement d'une intégrale : si m≤f≤M sur [a,b] avec a<b, alors m(b−a)≤∫ₐᵇ f≤M(b−a).

Calcul d'aire entre deux courbes : déterminer les abscisses d'intersection, puis intégrer |f−g| sur chaque intervalle où l'ordre des courbes est constant.

Égalité de deux complexes : a+ib=c+id ⇔ a=c et b=d ; un complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle.

Module et argument : |z₁z₂|=|z₁||z₂| ; |z₁/z₂|=|z₁|/|z₂| ; arg(z₁z₂)=arg z₁+arg z₂ [2π] ; arg(z₁/z₂)=arg z₁−arg z₂ [2π].

Inégalité triangulaire : |z₁+z₂|≤|z₁|+|z₂|, avec égalité si et seulement si z₁ et z₂ ont même argument.

Conjugaison : z₁+z₂̄=z̄₁+z̄₂ ; z₁z₂̄=z̄₁z̄₂ ; z̄=z ⇔ z réel ; z̄=−z ⇔ z imaginaire pur.

Racines carrées d'un complexe : résoudre z²=w en posant z=a+ib et en identifiant parties réelles et imaginaires, ou via le module et l'argument.

Forme exponentielle : z=r e^{iθ} avec r>0 ; multiplication par e^{iθ} correspond à une rotation d'angle θ autour de l'origine.

Équation du cercle de centre A d'affixe a et de rayon R : |z−a|=R ; équation du disque : |z−a|≤R.

Points remarquables : si z_A, z_B, z_C sont les affixes de A, B, C, alors le triangle ABC est équilatéral si (z_C−z_A)/(z_B−z_A)=e^{±iπ/3}.

pgcd(a,b) est le plus grand diviseur commun ; pgcd(a,b)=pgcd(b, a mod b) (algorithme d'Euclide).

ppcm(a,b)×pgcd(a,b)=|ab| pour tous entiers a et b non nuls.

Un entier p≥2 est premier si ses seuls diviseurs positifs sont 1 et p ; tout entier n≥2 se décompose en produit de facteurs premiers de façon unique à l'ordre près.

Congruences : si a≡b [n] et c≡d [n], alors a+c≡b+d [n] et ac≡bd [n] ; on peut élever à une puissance.

Théorème de Bézout : pgcd(a,b)=1 ⇔ il existe u,v entiers tels que au+bv=1.

Théorème de Gauss : si a|bc et pgcd(a,b)=1, alors a|c ; conséquence : si p premier et p|ab, alors p|a ou p|b.

Équation diophantienne ax+by=c : admet des solutions entières si et seulement si pgcd(a,b)|c ; on obtient une solution particulière puis la solution générale.

Petit théorème de Fermat : si p premier et p∤a, alors a^{p−1}≡1 [p].

Produit scalaire : u⃗·v⃗=|u⃗||v⃗|cos θ ; si u⃗·v⃗>0, l'angle est aigu ; si u⃗·v⃗<0, il est obtus.

Projeté orthogonal : si H est le projeté de M sur un plan P, alors MH est la distance minimale de M à P.

Vecteurs coplanaires : u⃗, v⃗, w⃗ sont coplanaires si et seulement si l'un est combinaison linéaire des deux autres, ou si det(u⃗,v⃗,w⃗)=0.

Équation d'un plan passant par A et de vecteur normal n⃗ : n⃗·AM⃗=0, soit a(x−x_A)+b(y−y_A)+c(z−z_A)=0.

Intersection de deux plans : la droite d'intersection admet pour vecteur directeur n⃗₁∧n⃗₂, produit vectoriel des vecteurs normaux.

Distance d'un point à une droite de l'espace passant par A et de vecteur directeur u⃗ : |AM⃗∧u⃗|/|u⃗|.

Sphère de centre Ω et de rayon R : M appartient à la sphère si et seulement si ΩM=R, soit (x−x_Ω)²+(y−y_Ω)²+(z−z_Ω)²=R².

Aire d'un parallélogramme construit sur u⃗ et v⃗ : |u⃗∧v⃗| ; volume du tétraèdre ABCD : (1/6)|AB⃗∧AC⃗·AD⃗|.

Dénombrement : nombre d'arrangements de k éléments parmi n : n!/(n−k)! ; nombre de combinaisons : C(n,k)=n!/(k!(n−k)!).

Équiprobabilité : si les issues sont équiprobables, P(A)=nombre d'issues favorables / nombre d'issues totales.

Loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète : la somme des probabilités P(X=xᵢ) vaut 1.

Espérance et variance : E(aX+b)=aE(X)+b ; V(aX+b)=a²V(X).

Loi binomiale : conditions d'application - n épreuves identiques et indépendantes, chacune avec deux issues (succès/échec) de probabilité p constante.

Statistiques : médiane = valeur qui partage la série ordonnée en deux effectifs égaux ; quartiles Q1 et Q3 partagent chacun 25 % des effectifs.

Écart-type : σ=√(V(X)) ; plus σ est grand, plus la série est dispersée autour de la moyenne.

Négation d'un énoncé universel : la négation de « pour tout x, P(x) » est « il existe x tel que non P(x) » ; la négation de « il existe x tel que P(x) » est « pour tout x, non P(x) ».

Réciproque et contraposée : la réciproque de « P⇒Q » est « Q⇒P » ; elle n'est pas toujours vraie ; la contraposée « non Q⇒non P » est toujours équivalente à « P⇒Q ».

Récurrence : initialisation au rang n₀, hérédité pour tout n≥n₀ ; une hérédité sans initialisation ne prouve rien.

Contre-exemple : un seul cas où l'énoncé est faux suffit pour le réfuter ; il faut vérifier que le cas respecte bien les hypothèses.

Disjonction des cas : partager l'ensemble en cas exhaustifs (par exemple n pair / n impair) et traiter chaque cas.

Analyse-synthèse : supposer l'objet existant, en déduire ses propriétés, puis vérifier que l'objet trouvé satisfait bien l'énoncé.

Rédaction : nommer le théorème utilisé (TVI, gendarmes, Bézout, Gauss, récurrence) et vérifier explicitement ses hypothèses avant de conclure.

Continuité en a : f est continue en a si lim_{x→a} f(x)=f(a) ; la continuité sur un intervalle signifie la continuité en chaque point de l'intervalle.

Théorème des valeurs intermédiaires : si f est continue sur [a,b] et si k est entre f(a) et f(b), alors l'équation f(x)=k admet au moins une solution dans [a,b].

Théorème de la bijection : une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I est une bijection de I sur f(I) ; sa réciproque est continue.

Dérivabilité : f est dérivable en a si le taux d'accroissement (f(a+h)−f(a))/h admet une limite finie quand h→0 ; cette limite est f′(a).

Dérivabilité implique continuité, mais la réciproque est fausse : la fonction x↦|x| est continue en 0 et non dérivable en 0.

Formules de dérivation : (uv)′=u′v+uv′ ; (u/v)′=(u′v−uv′)/v² ; (u∘v)′=v′×(u′∘v) ; (uⁿ)′=n u′ uⁿ⁻¹.

Formes indéterminées : 0/0, ∞/∞, ∞−∞, 0×∞ ; on lève l'indétermination en factorisant le terme dominant ou en utilisant les croissances comparées.

Croissances comparées : en +∞, e^x domine toute puissance xⁿ, qui domine (ln x)^m ; ainsi (ln x)/x→0 et xⁿ/e^x→0.

Asymptotes : verticale x=a si |f(x)|→+∞ quand x→a ; horizontale y=L si f(x)→L en ±∞ ; oblique y=ax+b si f(x)−(ax+b)→0.

ln est définie sur ]0,+∞[, strictement croissante, avec ln 1=0 et ln e=1 ; sa dérivée est 1/x et sa courbe admet une asymptote verticale x=0.

Propriétés du logarithme : ln(ab)=ln a+ln b, ln(a/b)=ln a−ln b, ln(aⁿ)=n ln a, valables pour a,b>0.

exp est définie sur ℝ, strictement croissante et positive ; exp(ln x)=x pour x>0 et ln(exp x)=x pour tout réel x.

Relations exponentielles : exp(a+b)=exp a × exp b, exp(−a)=1/exp a, exp(na)=(exp a)ⁿ ; dérivée de exp(u) : u′ exp(u).

Limites fondamentales : (ln x)/x→0 en +∞ ; x ln x→0 en 0⁺ ; e^x/x→+∞ en +∞ ; x e^x→0 en −∞.

Équations : ln x=a ⇔ x=e^a (x>0) ; e^x=b ⇔ x=ln b (b>0) ; ln x=ln y ⇔ x=y>0.

Fonction puissance : x↦a^x=e^{x ln a} pour a>0 ; dérivée (ln a) a^x ; croissante si a>1, décroissante si 0<a<1.

Primitives : ∫(1/x)dx=ln|x| ; ∫(u′/u)dx=ln|u| ; ∫u′e^u dx=e^u.

Suite arithmétique : uₙ=u₀+nr ; somme des n+1 premiers termes = (n+1)(u₀+uₙ)/2.

Suite géométrique : uₙ=u₀qⁿ ; somme = u₀(1−q^{n+1})/(1−q) si q≠1 ; qⁿ→0 si |q|<1, qⁿ→+∞ si q>1.

Monotonie : uₙ₊₁−uₙ≥0 ⇔ croissante ; pour une suite positive, uₙ₊₁/uₙ≥1 ⇔ croissante.

Suite bornée : majorée s'il existe M tel que uₙ≤M ; minorée s'il existe m tel que uₙ≥m ; bornée si les deux.

Théorème des gendarmes : si vₙ≤uₙ≤wₙ et si vₙ,wₙ→L, alors uₙ→L.

Convergence monotone : toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge.

Suites adjacentes : (uₙ) croissante, (vₙ) décroissante, vₙ−uₙ→0 ; elles convergent vers la même limite.

Suite récurrente uₙ₊₁=f(uₙ) : si (uₙ) converge vers L et f est continue en L, alors L=f(L) ; les limites possibles sont les points fixes de f.

Primitive : F est une primitive de f sur I si F′=f sur I ; deux primitives de f diffèrent d'une constante.

Théorème fondamental : si f est continue sur [a,b] et F une primitive de f, alors ∫ₐᵇ f(x)dx=F(b)−F(a).

Linéarité : ∫ₐᵇ(αf+βg)=α∫ₐᵇ f+β∫ₐᵇ g ; relation de Chasles : ∫ₐᵇ f+∫_b^c f=∫ₐ^c f.

Positivité : si f≥0 sur [a,b] avec a<b, alors ∫ₐᵇ f≥0 ; si f≤g, alors ∫ₐᵇ f≤∫ₐᵇ g.

Intégration par parties : ∫ₐᵇ u′v=[uv]ₐᵇ−∫ₐᵇ uv′, utile pour x e^x, x ln x, x cos x.

Primitives usuelles : xⁿ→x^{n+1}/(n+1) (n≠−1) ; 1/x→ln|x| ; e^x→e^x ; cos x→sin x ; sin x→−cos x.

Primitives composées : u′uⁿ→u^{n+1}/(n+1) ; u′/u→ln|u| ; u′e^u→e^u ; u′/√u→2√u.

Valeur moyenne de f sur [a,b] : m=(1/(b−a))∫ₐᵇ f(x)dx, comprise entre le minimum et le maximum de f.

Aire entre deux courbes : si f≥g sur [a,b], l'aire est ∫ₐᵇ(f(x)−g(x))dx, exprimée en unités d'aire.

Forme algébrique z=a+ib avec a=Re(z) et b=Im(z) ; conjugué z̄=a−ib ; module |z|=√(a²+b²) ; z z̄=|z|².

Produit : (a+ib)(c+id)=(ac−bd)+i(ad+bc) ; pour un quotient, multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.

Forme trigonométrique : z=r(cos θ+i sin θ) avec r=|z| et θ=arg(z) ; le produit multiplie les modules et additionne les arguments.

Formule de Moivre : (cos θ+i sin θ)ⁿ=cos(nθ)+i sin(nθ) ; notation exponentielle z=r e^{iθ}.

Formule d'Euler : e^{iθ}=cos θ+i sin θ ; e^{iπ}=−1 ; e^{iπ/2}=i.

Racines n-ièmes de l'unité : zⁿ=1 ⇔ z=e^{2ikπ/n} pour k=0,1,…,n−1 ; elles forment un polygone régulier inscrit dans le cercle unité.

Second degré réel : Δ=b²−4ac ; si Δ<0, z=(−b±i√(−Δ))/(2a).

Interprétation géométrique : |z−z_A| est la distance AM ; |z−z_A|=|z−z_B| définit la médiatrice de [AB] ; arg((z−z_A)/(z−z_B)) est l'angle orienté (MA,MB).

Transformations : z↦z+b est une translation ; z↦e^{iθ}z est une rotation de centre O et d'angle θ ; z↦kz (k réel) est une homothétie de rapport k.

Divisibilité : a|b s'il existe k∈Z tel que b=ka ; si a|b et b|c alors a|c ; si a|b et a|c alors a|(bu+cv) pour tous u,v∈Z.

Division euclidienne : pour a∈Z et b∈ℕ*, il existe un unique couple (q,r) avec a=bq+r et 0≤r<b.

Congruence modulo n : a≡b [n] ⇔ n|(a−b) ; compatible avec l'addition et la multiplication, donc on peut réduire les calculs modulo n.

Théorème de Bézout : a et b sont premiers entre eux si et seulement s'il existe u,v∈Z tels que au+bv=1 ; les coefficients s'obtiennent par l'algorithme d'Euclide étendu.

Théorème de Gauss : si a|bc et pgcd(a,b)=1, alors a|c.

Lemme d'Euclide : si p est premier et p|ab, alors p|a ou p|b.

Petit théorème de Fermat : si p est premier et p∤a, alors a^{p−1}≡1 [p] ; plus généralement a^p≡a [p] pour tout a.

Équation ax≡b [n] : admet des solutions si et seulement si pgcd(a,n)|b ; les solutions sont alors x≡x₀ [n/d] avec d=pgcd(a,n).

Théorème de Wilson : p est premier si et seulement si (p−1)!≡−1 [p].

Produit scalaire dans le plan : u⃗·v⃗=xx′+yy′=|u⃗||v⃗|cos θ ; orthogonalité ⇔ u⃗·v⃗=0 ; norme |u⃗|=√(u⃗·u⃗).

Dans l'espace : u⃗·v⃗=xx′+yy′+zz′ ; u⃗ et v⃗ orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

Équation cartésienne d'un plan : ax+by+cz+d=0, où n⃗=(a,b,c) est un vecteur normal au plan.

Distance d'un point M₀ à un plan P : d(M₀,P)=|ax₀+by₀+cz₀+d|/√(a²+b²+c²).

Produit vectoriel : u⃗∧v⃗=(yz′−zy′, zx′−xz′, xy′−yx′) ; il est orthogonal à u⃗ et à v⃗, et |u⃗∧v⃗|=|u⃗||v⃗| sin θ.

Aire d'un triangle ABC : ½|AB⃗∧AC⃗| ; u⃗ et v⃗ colinéaires si et seulement si u⃗∧v⃗=0⃗.

Volume du parallélépipède construit sur u⃗,v⃗,w⃗ : |det(u⃗,v⃗,w⃗)|=|(u⃗∧v⃗)·w⃗|.

Représentation paramétrique d'une droite de l'espace : x=x₀+at, y=y₀+bt, z=z₀+ct, où (a,b,c) est un vecteur directeur.

Dans le plan : droite passant par A(x₀,y₀) et de vecteur normal (a,b) : a(x−x₀)+b(y−y₀)=0 ; distance de M à ax+by+c=0 : |ax_M+by_M+c|/√(a²+b²).

Probabilité : P(Ω)=1, P(∅)=0, P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) ; P(Ā)=1−P(A).

Probabilité conditionnelle : P(A|B)=P(A∩B)/P(B) pour P(B)>0 ; formule des probabilités composées P(A∩B)=P(B)P(A|B).

Formule des probabilités totales : si {B₁,…,Bₙ} forme une partition de Ω, alors P(A)=Σ P(Bᵢ)P(A|Bᵢ).

Formule de Bayes : P(Bᵢ|A)=P(Bᵢ)P(A|Bᵢ)/Σⱼ P(Bⱼ)P(A|Bⱼ).

Indépendance : A et B indépendants ⇔ P(A∩B)=P(A)P(B) ; ne pas confondre avec l'incompatibilité (A∩B=∅).

Variable aléatoire discrète : E(X)=Σ xᵢ P(X=xᵢ) ; V(X)=E(X²)−(E(X))² ; écart-type σ=√V(X).

Loi binomiale B(n,p) : P(X=k)=C(n,k) p^k (1−p)^{n−k} ; E(X)=np et V(X)=np(1−p).

Statistiques descriptives : moyenne x̄=(1/n)Σ xᵢ ; médiane partage la série ordonnée en deux ; écart-type mesure la dispersion.

Fréquences : fréquence d'une modalité = effectif de la modalité / effectif total ; les fréquences cumulées croissantes servent à lire la médiane.

Raisonnement direct : pour démontrer « P ⇒ Q », on suppose P vraie et on en déduit Q par une suite d'implications logiques.

Contraposée : pour prouver « P ⇒ Q », on démontre « non Q ⇒ non P » ; les deux énoncés sont logiquement équivalents.

Raisonnement par l'absurde : on suppose P vraie et Q fausse, et on aboutit à une contradiction ; utile pour l'irrationalité de √2 ou l'unicité d'une limite.

Récurrence : initialisation (vérifier la propriété au rang de départ), hérédité (supposer la propriété vraie au rang n et prouver qu'elle est vraie au rang n+1), conclusion.

Contre-exemple : un seul contre-exemple suffit pour réfuter un énoncé universel « pour tout x, P(x) » ; il ne prouve jamais un énoncé existentiel.

Disjonction des cas : partager l'ensemble des possibles en cas exhaustifs et démontrer la propriété dans chacun d'eux.

Équivalence : « P ⇔ Q » exige deux implications ; vérifier les deux sens avant de conclure.

Analyse-synthèse : supposer l'objet cherché existant (analyse), en déduire ses propriétés, puis vérifier réciproquement que l'objet trouvé convient (synthèse).

Rédaction : énoncer clairement hypothèses, théorème utilisé et conclusion ; les théorèmes (TVI, gendarmes, Bézout, Gauss) doivent être nommés et leurs hypothèses vérifiées.