Rendement agricole et dose optimale
Une coopérative agricole étudie le rendement d’une parcelle en fonction de la dose d’engrais, exprimée en dizaines de kilogrammes par hectare. Pour une dose x > 0, le rendement modélisé est f(x) = 10 ln(x)/x, en tonnes par hectare. La coopérative veut déterminer la dose qui maximise le rendement, puis discuter le nombre de doses possibles pour un rendement cible de 3 tonnes par hectare. Elle dispose d’un tableau de valeurs expérimentales qui suggère un maximum voisin de 3,7 tonnes par hectare, mais elle doit le confirmer par l’étude de f. Elle s’interdit de dépasser 8 dizaines de kilogrammes par hectare, ce qui correspond à x ≤ 8. Le conseil technique demande aussi de localiser les doses réalisant ce rendement cible à l’unité près, afin de préparer un essai comparatif.
1. Étudier les variations de f sur ]0;8] et déterminer son maximum.
Read the worked answer
f est définie et dérivable sur ]0;8]. f'(x) = 10[(1/x)x − ln x]/x^2 = 10(1 − ln x)/x^2. Le signe dépend de 1 − ln x. Donc f'(x) > 0 pour x < e, f'(e) = 0, f'(x) < 0 pour x > e. Sur ]0;e], f croît ; sur [e;8], f décroît. Le maximum est atteint en x = e et vaut f(e) = 10 ln(e)/e = 10/e ≈ 3,68 tonnes par hectare. Les limites : quand x → 0+, ln x → −∞ donc f(x) → −∞ ; f(8) = 10 ln8/8 ≈ 2,60. Le tableau de variations confirme un maximum unique.
2. Discuter, sur [1;8], le nombre de solutions de l’équation f(x) = 3.
Read the worked answer
Sur [1;e], f est continue et strictement croissante, avec f(1) = 0 et f(e) = 10/e ≈ 3,68. Comme 3 est compris entre 0 et 3,68, le théorème des valeurs intermédiaires donne une unique solution dans [1;e].
Sur [e;8], f est continue et strictement décroissante, avec f(e) ≈ 3,68 et f(8) = 10 ln8/8 ≈ 2,60. Comme 3 est compris entre 2,60 et 3,68, il existe une unique solution dans [e;8].
Au total, l’équation f(x) = 3 admet exactement deux solutions dans [1;8] : une avant e et une après e.
3. Localiser chacune des deux solutions à l’unité près.
Read the worked answer
Solution α dans [1;e] : f(2) = 10 ln2/2 ≈ 3,47 > 3 et f(1) = 0 < 3. Donc 1 < α < 2.
Solution β dans [e;8] : f(5) = 10 ln5/5 ≈ 3,22 > 3, tandis que f(6) = 10 ln6/6 ≈ 2,99 < 3. Donc 5 < β < 6.
Ainsi, à l’unité près, les doses réalisant le rendement cible sont comprises entre 1 et 2, puis entre 5 et 6 dizaines de kilogrammes par hectare. Le maximum de rendement, voisin de 3,68 t/ha, est atteint pour x = e ≈ 2,72.