Motif carré dans le plan complexe
Un artisan doit réaliser un motif triangulaire métallique à partir de trois points repérés dans le plan complexe. On pose A(1+i), B(2+3i) et C(−1+2i), l’unité étant le décimètre. Le cahier des charges impose que le triangle ABC soit rectangle isocèle en A, puis qu’on complète le motif par un quatrième point D pour former un carré ABDC. L’artisan veut aussi connaître l’ensemble des points M d’affixe z tels que MA = MB, afin de placer une tige de symétrie. Enfin, il se demande si le point d’affixe 4i peut servir de D et si l’aire du carré est compatible avec un panneau de 0,5 m². Il doit justifier chaque réponse par des calculs d’affixes, de modules et d’arguments, sans se contenter d’une lecture graphique.
1. Montrer que le triangle ABC est rectangle isocèle en A.
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On calcule les affixes des vecteurs : z_B − z_A = (2+3i) − (1+i) = 1+2i ; z_C − z_A = (−1+2i) − (1+i) = −2+i.
Modules : |1+2i| = √(1^2+2^2)=√5 ; |−2+i| = √((−2)^2+1^2)=√5. Donc AB = AC.
Pour l’angle, on forme le quotient (z_B − z_A)/(z_C − z_A) = (1+2i)/(−2+i). En multipliant par le conjugué (−2−i), on obtient (1+2i)(−2−i)/5 = (−2−i−4i−2i^2)/5 = (−2−5i+2)/5 = −5i/5 = −i. Ce quotient a pour module 1 et pour argument −π/2. Donc AB = AC et l’angle (AC, AB) vaut −π/2 : le triangle est rectangle isocèle en A.
2. Déterminer l’affixe du point D pour que ABDC soit un carré. Le point d’affixe 4i convient-il ? Calculer l’aire du carré.
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Dans le carré ABDC, les diagonales [AD] et [BC] ont le même milieu, donc z_A + z_D = z_B + z_C. D’où z_D = z_B + z_C − z_A = (2+3i) + (−1+2i) − (1+i) = (2−1−1) + (3+2−1)i = 0 + 4i = 4i. Le point 4i convient donc.
Vérification : z_B − z_A = 1+2i et z_D − z_B = 4i − (2+3i) = −2+i. Ces deux vecteurs ont même module √5 et sont orthogonaux car (1+2i)(−2−i) a pour partie réelle 0. De plus z_C − z_D = (−1+2i) − 4i = −1−2i = −(1+2i). C’est bien un carré.
Aire = AB^2 = (√5)^2 = 5 dm² = 0,05 m², donc compatible avec un panneau de 0,5 m².
3. Déterminer et caractériser l’ensemble des points M d’affixe z tels que MA = MB.
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MA = MB équivaut à |z − (1+i)| = |z − (2+3i)|. En posant z = x + iy, on élève au carré :
(x−1)^2 + (y−1)^2 = (x−2)^2 + (y−3)^2.
En développant : x² − 2x + 1 + y² − 2y + 1 = x² − 4x + 4 + y² − 6y + 9, donc −2x − 2y + 2 = −4x − 6y + 13, soit 2x + 4y − 11 = 0.
C’est l’équation d’une droite, plus précisément la médiatrice du segment [AB]. Elle passe par le milieu de [AB], d’affixe (3/2) + 2i, et elle est perpendiculaire à (AB).