Dépistage et faux positifs
Un centre de dépistage évalue un test rapide pour une maladie rare. La prévalence dans la population testée est de 2 %. Chez une personne malade, le test est positif dans 95 % des cas. Chez une personne saine, il est négatif dans 90 % des cas. Le centre reçoit un patient dont le test est positif et veut estimer la probabilité qu’il soit réellement malade. Le médecin s’inquiète : un test présenté comme « fiable à 95 % » peut-il conduire à une majorité de faux positifs ? Il demande une modélisation par un arbre pondéré, le calcul de la probabilité d’un test positif, puis la probabilité conditionnelle de maladie sachant un test positif. Enfin, il veut savoir combien de tests positifs, sur 1 000 patients, seraient attendus en moyenne, pour dimensionner le suivi.
1. Modéliser la situation par un arbre pondéré et calculer la probabilité qu’un patient ait un test positif.
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Notons M l’événement « patient malade » et T+ l’événement « test positif ». On a P(M) = 0,02, P(non M) = 0,98, P(T+|M) = 0,95 et P(T+|non M) = 0,10 (car la spécificité est 90 %).
Arbre : première branche M (0,02) puis T+ (0,95) et T− (0,05) ; seconde branche non M (0,98) puis T+ (0,10) et T− (0,90).
Par la formule des probabilités totales : P(T+) = P(M)×P(T+|M) + P(non M)×P(T+|non M) = 0,02×0,95 + 0,98×0,10 = 0,019 + 0,098 = 0,117.
La probabilité d’un test positif est donc 11,7 %.
2. Calculer la probabilité qu’un patient soit réellement malade sachant que son test est positif. Commenter le résultat.
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Par la formule de Bayes : P(M|T+) = P(M∩T+)/P(T+) = (0,02×0,95)/0,117 = 0,019/0,117 ≈ 0,1624.
Environ 16,2 % des patients positifs sont réellement malades. Autrement dit, parmi les tests positifs, une large majorité sont des faux positifs, car la maladie est rare et la spécificité n’est que de 90 %. Le chiffre « fiable à 95 % » concerne la sensibilité chez les malades, pas la probabilité d’être malade après un résultat positif. Le médecin doit donc confirmer par un second test.
3. Sur 1 000 patients, combien de tests positifs et de vrais positifs peut-on attendre en moyenne ?
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Sur 1 000 patients, on attend 1 000×0,02 = 20 malades et 980 personnes saines.
Tests positifs attendus : 1 000×0,117 = 117. Vrais positifs attendus : 20×0,95 = 19. Faux positifs attendus : 980×0,10 = 98.
On vérifie 19 + 98 = 117. Le centre doit donc prévoir un suivi pour environ 117 personnes positives, dont seulement 19 malades en moyenne ; cela justifie un protocole de confirmation pour éviter d’alarmer inutilement près de 98 personnes.