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Bac Mathématiques Algeria practice questions

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First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

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Question 1Analyse : limites, continuité et dérivabilité

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = (2x² - 3x + 1)/(x - 1) pour x ≠ 1. Quelle est la limite de f en 1 ?

  1. +∞ du côté droit et -∞ du côté gauche
  2. 1 Correct answer.
  3. Elle n'existe pas car le numérateur s'annule aussi
  4. 0

Explanation

On factorise le numérateur : 2x² - 3x + 1 = (x - 1)(2x - 1). Pour x ≠ 1, f(x) = 2x - 1, donc la limite en 1 vaut 2(1) - 1 = 1. L'indétermination 0/0 est levée par simplification.

Question 2Analyse : limites, continuité et dérivabilité

La fonction f définie sur ℝ par f(x) = x³ - 3x est dérivable. Quelle est l'expression de f'(x) ?

  1. x² - 3
  2. 3x² - 3 Correct answer.
  3. 3x² - 3x
  4. 3x - 3

Explanation

On dérive terme à terme : la dérivée de x³ est 3x² et la dérivée de -3x est -3. La constante additive éventuelle disparaît, donc f'(x) = 3x² - 3.

Question 3Analyse : limites, continuité et dérivabilité

Soit f(x) = √(x + 4) définie sur [-4 ; +∞[. Quel est le taux d'accroissement de f entre 0 et h (h > 0) ?

  1. 1/(√(h + 4) + 2) Correct answer.
  2. h/(√(h + 4) - 2)
  3. √(h + 4) + 2
  4. (√(h + 4) - 2)/h

Explanation

Le taux vaut (√(h + 4) - √4)/h = (√(h + 4) - 2)/h. On multiplie par l'expression conjuguée : le numérateur devient h, qui se simplifie avec h, d'où 1/(√(h + 4) + 2).

Question 4Analyse : limites, continuité et dérivabilité

La fonction f définie par f(x) = (x² - 1)/(x - 1) pour x ≠ 1 et f(1) = 2 est-elle continue en 1 ?

  1. Non, car le numérateur s'annule en 1
  2. Non, car elle n'est pas définie en 1 par la même formule
  3. Oui, mais seulement à droite de 1
  4. Oui, car lim en 1 de f(x) = 2 = f(1) Correct answer.

Explanation

Pour x ≠ 1, f(x) = x + 1, donc la limite en 1 vaut 2. Comme cette limite est égale à la valeur imposée f(1) = 2, la fonction est continue en 1.

Question 5Analyse : limites, continuité et dérivabilité

Soit f(x) = x³ + x. Combien l'équation f(x) = 1 admet-elle de solutions réelles ?

  1. Exactement une Correct answer.
  2. Exactement deux
  3. Exactement trois
  4. Aucune

Explanation

f est strictement croissante sur ℝ car f'(x) = 3x² + 1 > 0. De plus f(0) = 0 < 1 et f(1) = 2 > 1 ; le théorème des valeurs intermédiaires, joint à la stricte monotonie, garantit une unique solution.

Question 6Analyse : limites, continuité et dérivabilité

Quelle est la limite en +∞ de f(x) = (3x² - x + 2)/(x² + 5) ?

  1. 3 Correct answer.
  2. 1/5
  3. 0
  4. +∞

Explanation

On divise numérateur et dénominateur par x² : f(x) = (3 - 1/x + 2/x²)/(1 + 5/x²). Les termes en 1/x et 1/x² tendent vers 0, donc la limite est 3/1 = 3.

Question 7Analyse : limites, continuité et dérivabilité

Soit f(x) = |x - 2|. Que peut-on dire de f en x = 2 ?

  1. f est dérivable en 2 avec f'(2) = 1
  2. f est dérivable en 2 avec f'(2) = 0
  3. f n'est pas continue en 2
  4. f est continue mais non dérivable en 2 Correct answer.

Explanation

La fonction valeur absolue est continue partout. En 2, le taux d'accroissement vaut 1 à droite et -1 à gauche : les nombres dérivés latéraux diffèrent, donc f n'est pas dérivable en 2.

Question 8Analyse : limites, continuité et dérivabilité

Soit f dérivable sur ℝ avec f(2) = 5 et f'(2) = -3. Quelle est l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 2 ?

  1. y = 5x - 3
  2. y = -3x + 11 Correct answer.
  3. y = -3x + 5
  4. y = -3x - 1

Explanation

La tangente en a a pour équation y = f'(a)(x - a) + f(a). Ici y = -3(x - 2) + 5 = -3x + 6 + 5 = -3x + 11.

Question 9Analyse : limites, continuité et dérivabilité

Soit f(x) = (2x + 1)/(x - 3), définie sur ℝ privé de 3. Quelle est l'expression de f'(x) ?

  1. 2/(x - 3)²
  2. 7/(x - 3)²
  3. -7/(x - 3)² Correct answer.
  4. -5/(x - 3)²

Explanation

Avec la formule (u/v)' = (u'v - uv')/v², on obtient [2(x - 3) - (2x + 1)]/(x - 3)² = (2x - 6 - 2x - 1)/(x - 3)² = -7/(x - 3)².

Question 10Analyse : limites, continuité et dérivabilité

Soit f(x) = x³ - 3x + 1. Sur quel intervalle f est-elle strictement décroissante ?

  1. ]1 ; +∞[
  2. ℝ tout entier
  3. ]-∞ ; -1[
  4. ]-1 ; 1[ Correct answer.

Explanation

f'(x) = 3x² - 3 = 3(x - 1)(x + 1). Ce trinôme est négatif entre ses racines -1 et 1, donc f est strictement décroissante sur ]-1 ; 1[ et croissante à l'extérieur.

Question 11Analyse : limites, continuité et dérivabilité

Quelle est la limite en 0 de f(x) = (sin x)/x ?

  1. Elle n'existe pas
  2. 0
  3. 1 Correct answer.
  4. +∞

Explanation

C'est une limite de référence : le taux d'accroissement de sin en 0 vaut (sin x - sin 0)/(x - 0) = sin x / x et tend vers cos 0 = 1. Géométriquement, la corde et l'arc se confondent au voisinage de 0.

Question 12Analyse : limites, continuité et dérivabilité

Soit f continue sur [0 ; 2] avec f(0) = -1 et f(2) = 3. Que garantit le théorème des valeurs intermédiaires ?

  1. f est dérivable sur ]0 ; 2[
  2. f atteint son maximum en 2
  3. f est strictement croissante sur [0 ; 2]
  4. L'équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans ]0 ; 2[ Correct answer.

Explanation

La fonction est continue et 0 est compris entre f(0) = -1 et f(2) = 3. Le théorème des valeurs intermédiaires assure l'existence d'au moins un réel c dans ]0 ; 2[ tel que f(c) = 0.

Question 13Analyse : limites, continuité et dérivabilité

Soit f(x) = (x² + 1)/(x - 1). Quelle est l'équation de l'asymptote oblique à la courbe de f en +∞ ?

  1. y = x - 1
  2. y = x + 1 Correct answer.
  3. y = 1
  4. y = x

Explanation

On effectue la division : x² + 1 = (x - 1)(x + 1) + 2, donc f(x) = x + 1 + 2/(x - 1). Le terme 2/(x - 1) tend vers 0 en ±∞, la droite y = x + 1 est asymptote oblique.

Question 14Analyse : limites, continuité et dérivabilité

Soit f(x) = x + √(x² + 1). Quelle est la limite de f en -∞ ?

  1. -∞
  2. 0 Correct answer.
  3. 1/2
  4. +∞

Explanation

On multiplie par la quantité conjuguée : f(x) = (x² + 1 - x²)/(√(x² + 1) - x) = 1/(√(x² + 1) - x). Quand x tend vers -∞, le dénominateur tend vers +∞, donc f(x) tend vers 0.

Question 15Analyse : limites, continuité et dérivabilité

Soit f définie sur ℝ par f(x) = x⁴ - 2x². Combien la courbe de f admet-elle de tangentes horizontales ?

  1. Trois Correct answer.
  2. Une seule
  3. Deux
  4. Quatre

Explanation

f'(x) = 4x³ - 4x = 4x(x - 1)(x + 1). Les tangentes horizontales correspondent aux zéros de f', soit x = -1, x = 0 et x = 1 : il y en a trois.

Question 16Analyse : limites, continuité et dérivabilité

Soit f continue sur [a ; b] et dérivable sur ]a ; b[ avec f(a) = f(b). Que dit le théorème de Rolle ?

  1. Il existe c dans ]a ; b[ tel que f'(c) = 0 Correct answer.
  2. f' est continue sur [a ; b]
  3. f'(a) = f'(b)
  4. f est constante sur [a ; b]

Explanation

Le théorème de Rolle affirme qu'entre deux points de même ordonnée, il existe au moins un point où la tangente est horizontale. La condition est l'existence d'un c intérieur avec f'(c) = 0.

Question 17Analyse : limites, continuité et dérivabilité

Quelle est la limite en +∞ de f(x) = x - √x ?

  1. -∞
  2. +∞ Correct answer.
  3. 1
  4. 0

Explanation

On factorise : f(x) = √x(√x - 1). Quand x tend vers +∞, √x tend vers +∞ et (√x - 1) aussi, donc le produit tend vers +∞. La racine croît moins vite que x.

Question 18Analyse : limites, continuité et dérivabilité

Soit f(x) = (x² - 4)/(x - 2) pour x ≠ 2, prolongée par continuité en 2. Quelle valeur faut-il donner à f(2) ?

  1. 0
  2. 2
  3. 4 Correct answer.
  4. Le prolongement est impossible

Explanation

On factorise x² - 4 = (x - 2)(x + 2), donc f(x) = x + 2 pour x ≠ 2. La limite en 2 vaut 4 : le prolongement par continuité impose f(2) = 4.

Question 19Analyse : limites, continuité et dérivabilité

Soit f(x) = 1/x sur ]0 ; +∞[. La fonction f est-elle dérivable sur cet intervalle ?

  1. Oui, de dérivée ln x
  2. Non, car elle n'est pas définie en 0
  3. Oui, de dérivée 1/x²
  4. Oui, de dérivée -1/x² Correct answer.

Explanation

La fonction inverse est dérivable sur tout intervalle où elle est définie, avec (1/x)' = -1/x². Le signe négatif traduit la décroissance de f sur ]0 ; +∞[.

Question 20Analyse : limites, continuité et dérivabilité

Soit f(x) = ln(x² + 1). Quelle est l'expression de f'(x) sur ℝ ?

  1. 1/(x² + 1)
  2. 2x/(x² + 1) Correct answer.
  3. 2x
  4. ln(2x)

Explanation

On applique la dérivée d'une composée ln(u) avec u = x² + 1 > 0 : f'(x) = u'/u = 2x/(x² + 1). Le signe de f' est celui de x, ce qui confirme un minimum en 0.

Question 21Analyse : limites, continuité et dérivabilité

Soit f(x) = (x + 1)/(x² + 1). Que vaut f'(0) ?

  1. 1 Correct answer.
  2. 2
  3. -1
  4. 0

Explanation

f'(x) = [(x² + 1) - (x + 1)(2x)]/(x² + 1)² = (1 - 2x - x²)/(x² + 1)². En x = 0, le numérateur vaut 1 et le dénominateur 1, donc f'(0) = 1.

Question 22Analyse : limites, continuité et dérivabilité

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x³ - 3x² + 1. Quelle est la nature du point critique x = 2 ?

  1. Un point d'inflexion sans extremum
  2. Ni extremum ni point d'inflexion
  3. Un minimum local Correct answer.
  4. Un maximum local

Explanation

f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2). f' est négative sur ]0 ; 2[ et positive après 2 : la fonction décroît puis croît, donc x = 2 donne un minimum local.

Question 23Analyse : limites, continuité et dérivabilité

Soit f(x) = (2x - 1)/(x + 3). Quelle est l'équation de l'asymptote verticale à la courbe ?

  1. x = 3
  2. x = -3 Correct answer.
  3. y = -1/3
  4. y = 2

Explanation

Le dénominateur s'annule en x = -3 et le numérateur y vaut -7, non nul. La limite de f est infinie en -3, la droite d'équation x = -3 est asymptote verticale.

Question 24Analyse : limites, continuité et dérivabilité

Soit f(x) = x² sin(1/x) pour x ≠ 0 et f(0) = 0. Que peut-on dire de f en 0 ?

  1. f est continue mais non dérivable en 0
  2. f n'est pas continue en 0
  3. f est dérivable en 0 avec f'(0) = 1
  4. f est dérivable en 0 avec f'(0) = 0 Correct answer.

Explanation

On a |f(x)| ≤ x², donc f(x) tend vers 0 = f(0) : f est continue en 0. Le taux d'accroissement vaut x sin(1/x), borné en valeur absolue par |x|, donc il tend vers 0 : f'(0) = 0.

Question 25Analyse : limites, continuité et dérivabilité

Soit f(x) = √(x² + 3x + 2). Quel est l'ensemble de définition de f ?

  1. ℝ
  2. ]-∞ ; -2] ∪ [-1 ; +∞[ Correct answer.
  3. [-2 ; -1]
  4. ]-1 ; +∞[

Explanation

La racine carrée exige x² + 3x + 2 ≥ 0. Le trinôme se factorise en (x + 1)(x + 2) et est positif à l'extérieur des racines -2 et -1, d'où ]-∞ ; -2] ∪ [-1 ; +∞[.

Question 26Analyse : limites, continuité et dérivabilité

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = (x² + 3x - 1)/(x² + 1). Quelle est la limite de f lorsque x tend vers +∞ ?

  1. 1 Correct answer.
  2. 0
  3. +∞
  4. 3

Explanation

Au voisinage de +∞, le quotient de deux polynômes de même degré tend vers le rapport de leurs coefficients dominants, ici 1/1 = 1. Les termes de degré inférieur deviennent négligeables devant x².

Question 27Analyse : limites, continuité et dérivabilité

Soit f(x) = √(x - 1). En quel point la fonction f n'est-elle pas dérivable, tout en restant continue sur son ensemble de définition ?

  1. En x = 0
  2. En x = 2
  3. En x = 5
  4. En x = 1 Correct answer.

Explanation

La fonction racine carrée est continue sur [0 ; +∞[ mais sa dérivée tend vers +∞ en 0, ce qui traduit une tangente verticale. Ici le radicande x - 1 s'annule en x = 1, point où f est continue mais non dérivable.

Question 28Analyse : limites, continuité et dérivabilité

Soit f une fonction dérivable sur ℝ. On sait que f'(x) > 0 pour tout x < 1 et que f'(x) < 0 pour tout x > 1. Que peut-on affirmer sur f ?

  1. f est croissante sur ℝ tout entier
  2. f admet un point d'inflexion en x = 1
  3. f admet un maximum local en x = 1 Correct answer.
  4. f admet un minimum local en x = 1

Explanation

Le signe de la dérivée donne le sens de variation : f croît avant 1 puis décroît après 1. La fonction change donc de sens en x = 1, ce qui correspond à un maximum local.

Question 29Analyse : limites, continuité et dérivabilité

Soit f(x) = (3x - 1)/(x - 2), définie sur ℝ privé de 2. Quelle est la limite de f lorsque x tend vers 2 par valeurs supérieures ?

  1. 0
  2. -∞
  3. +∞ Correct answer.
  4. 5

Explanation

Quand x tend vers 2 avec x > 2, le dénominateur x - 2 tend vers 0 par valeurs positives, tandis que le numérateur tend vers 5 > 0. Le quotient tend donc vers +∞.

Question 30Analyse : limites, continuité et dérivabilité

Soit f(x) = (x² - 5x + 6)/(x - 2) pour x ≠ 2. Quelle valeur faut-il donner à f(2) pour que le prolongement par continuité en 2 existe ?

  1. 2
  2. 0
  3. 1
  4. -1 Correct answer.

Explanation

On factorise le numérateur : x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3). Pour x ≠ 2, f(x) = x - 3, dont la limite en 2 vaut -1. Le prolongement par continuité impose donc f(2) = -1.

Question 31Analyse : limites, continuité et dérivabilité

Soit f(x) = x + sin x définie sur ℝ. Que peut-on dire de sa dérivée et de sa monotonie ?

  1. f'(x) = 1 + cos x, qui change de signe, donc f n'est pas monotone
  2. f'(x) = 1 + cos x ≥ 0, donc f est croissante sur ℝ Correct answer.
  3. f'(x) = cos x, donc f n'est pas monotone sur ℝ
  4. f'(x) = 1 - cos x ≥ 0, donc f est croissante sur ℝ

Explanation

La dérivée de x est 1 et celle de sin x est cos x, d'où f'(x) = 1 + cos x. Comme cos x ≥ -1, on a f'(x) ≥ 0 sur ℝ, et f est donc croissante sur ℝ.

Question 32Analyse : limites, continuité et dérivabilité

Soit f(x) = (2x² + 1)/(x). Quelle est l'équation de l'asymptote oblique à la courbe de f en +∞ ?

  1. y = 2x + 1
  2. y = x + 2
  3. y = 2
  4. y = 2x Correct answer.

Explanation

On écrit f(x) = 2x + 1/x. La différence f(x) - 2x = 1/x tend vers 0 quand x tend vers +∞, ce qui signifie que la droite y = 2x est asymptote oblique à la courbe.

Question 33Analyse : limites, continuité et dérivabilité

Soit f continue sur [1 ; 4] et dérivable sur ]1 ; 4[, avec f(1) = 2 et f(4) = 11. Que garantit le théorème des accroissements finis ?

  1. Il existe c dans ]1 ; 4[ tel que f'(c) = 0
  2. Il existe c dans ]1 ; 4[ tel que f(c) = 3
  3. Il existe c dans ]1 ; 4[ tel que f'(c) = 3 Correct answer.
  4. f'(x) = 3 pour tout x de ]1 ; 4[

Explanation

Le taux d'accroissement vaut (f(4) - f(1))/(4 - 1) = (11 - 2)/3 = 3. Le théorème des accroissements finis affirme l'existence d'un point c intérieur où la dérivée égale ce taux, soit f'(c) = 3.

Question 34Analyse : limites, continuité et dérivabilité

Soit f(x) = x³ - 6x² + 9x. Combien la courbe de f admet-elle de points d'inflexion ?

  1. Un seul Correct answer.
  2. Deux
  3. Aucun
  4. Trois

Explanation

On calcule f'(x) = 3x² - 12x + 9 puis f''(x) = 6x - 12, qui s'annule uniquement en x = 2. La dérivée seconde change de signe en ce point, qui est donc l'unique point d'inflexion.

Question 35Analyse : limites, continuité et dérivabilité

Soit f(x) = x sin(1/x) pour x ≠ 0 et f(0) = 0. Que peut-on dire de f en 0 ?

  1. f est continue en 0 mais non dérivable en 0 Correct answer.
  2. f n'est pas continue en 0
  3. f est dérivable en 0 avec f'(0) = 1
  4. f est dérivable en 0 avec f'(0) = 0

Explanation

Comme |x sin(1/x)| ≤ |x|, la limite de f en 0 vaut 0 = f(0), donc f est continue en 0. En revanche le taux (f(x) - f(0))/x = sin(1/x) n'a pas de limite en 0, donc f n'est pas dérivable en 0.

Question 36Analyse : limites, continuité et dérivabilité

Soit f(x) = (x² + 2x - 3)/(x - 1) définie pour x ≠ 1. Quelle est la limite de f lorsque x tend vers 1 ?

  1. 4 Correct answer.
  2. -3
  3. 0
  4. +∞

Explanation

Le numérateur se factorise en (x - 1)(x + 3), donc f(x) = x + 3 pour x ≠ 1. La limite en 1 vaut alors 1 + 3 = 4, la forme indéterminée 0/0 se lève par factorisation.

Question 37Analyse : fonctions exponentielles et logarithmes

Quelle est la valeur exacte de ln(e^3) + e^{ln 2} ?

  1. 5 Correct answer.
  2. 6
  3. e^3 + 2
  4. 3 + 2e

Explanation

On utilise ln(e^a) = a, donc ln(e^3) = 3, et e^{ln b} = b pour b > 0, donc e^{ln 2} = 2. La somme vaut 3 + 2 = 5.

Question 38Analyse : fonctions exponentielles et logarithmes

Quel est l'ensemble de définition de la fonction f(x) = ln(x^2 - 4) ?

  1. ℝ \ {2 ; -2}
  2. [2 ; +∞[
  3. ]-2 ; 2[
  4. ]-∞ ; -2[ ∪ ]2 ; +∞[ Correct answer.

Explanation

Le logarithme n'est défini que pour un argument strictement positif : il faut x^2 - 4 > 0, soit x^2 > 4. Cette inéquation donne x < -2 ou x > 2.

Question 39Analyse : fonctions exponentielles et logarithmes

Quelle est la limite de (ln x)/x lorsque x tend vers +∞ ?

  1. 1
  2. 0 Correct answer.
  3. e
  4. +∞

Explanation

La fonction ln croît plus lentement que toute puissance positive de x, en particulier plus lentement que x. Le quotient (ln x)/x tend donc vers 0 quand x tend vers +∞.

Question 40Analyse : fonctions exponentielles et logarithmes

Quelle est la dérivée de la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = x ln x ?

  1. 1/x
  2. x + ln x
  3. 1 + ln x Correct answer.
  4. ln x

Explanation

On applique la formule de dérivation d'un produit (uv)' = u'v + uv' avec u(x) = x et v(x) = ln x. On obtient f'(x) = 1·ln x + x·(1/x) = ln x + 1.

Question 41Analyse : fonctions exponentielles et logarithmes

Quelle est la valeur de e^{ln 5 - ln 2} ?

  1. 3
  2. 10
  3. e^3
  4. 5/2 Correct answer.

Explanation

On utilise ln a - ln b = ln(a/b), donc ln 5 - ln 2 = ln(5/2). Comme e^{ln t} = t pour t > 0, on obtient e^{ln(5/2)} = 5/2.

Question 42Analyse : fonctions exponentielles et logarithmes

Quel est le sens de variation de la fonction g(x) = e^{-x} sur ℝ ?

  1. g est constante sur ℝ
  2. g est croissante puis décroissante
  3. g est strictement croissante sur ℝ
  4. g est strictement décroissante sur ℝ Correct answer.

Explanation

On a g'(x) = -e^{-x}, quantité toujours strictement négative puisque e^{-x} > 0. La fonction g est donc strictement décroissante sur ℝ.

Question 43Analyse : fonctions exponentielles et logarithmes

Résoudre dans ℝ l'équation e^{2x} = e^{x+3}.

  1. x = 3/2
  2. x = -3
  3. x = 1
  4. x = 3 Correct answer.

Explanation

La fonction exponentielle est strictement croissante donc injective : e^{2x} = e^{x+3} équivaut à 2x = x + 3. On en déduit x = 3.

Question 44Analyse : fonctions exponentielles et logarithmes

Quelle est la limite de ln x lorsque x tend vers 0 par valeurs supérieures ?

  1. +∞
  2. 1
  3. -∞ Correct answer.
  4. 0

Explanation

La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[ et ln x = -ln(1/x). Quand x tend vers 0^+, 1/x tend vers +∞ donc ln(1/x) tend vers +∞ et ln x tend vers -∞.

Question 45Analyse : fonctions exponentielles et logarithmes

Quelle est la dérivée de la fonction h définie sur ℝ par h(x) = e^{x^2+1} ?

  1. 2x e^{x^2+1} Correct answer.
  2. (x^2+1) e^{x^2+1}
  3. e^{x^2+1}
  4. 2x e^{2x}

Explanation

On dérive une composée e^{u} avec u(x) = x^2 + 1 : la dérivée est u'(x) e^{u(x)}. Comme u'(x) = 2x, on obtient h'(x) = 2x e^{x^2+1}.

Question 46Analyse : fonctions exponentielles et logarithmes

Étudier le signe de f(x) = ln x - 1 sur ]0 ; +∞[.

  1. f(x) est toujours positif sur ]0 ; +∞[
  2. f(x) > 0 pour 0 < x < e et f(x) < 0 pour x > e
  3. f(x) > 0 pour x > e et f(x) < 0 pour 0 < x < e Correct answer.
  4. f(x) > 0 pour x > 1 et f(x) < 0 pour 0 < x < 1

Explanation

On résout ln x - 1 > 0, soit ln x > 1, ce qui équivaut à x > e car la fonction exponentielle est croissante. Le signe est donc négatif avant e et positif après.

Question 47Analyse : fonctions exponentielles et logarithmes

Calculer la limite en +∞ de f(x) = x - ln x.

  1. -∞
  2. 1
  3. +∞ Correct answer.
  4. 0

Explanation

On factorise par x : f(x) = x(1 - (ln x)/x). Comme (ln x)/x tend vers 0, le facteur entre parenthèses tend vers 1 et x tend vers +∞, donc f(x) tend vers +∞.

Question 48Analyse : fonctions exponentielles et logarithmes

Résoudre dans ℝ l'inéquation e^{2x} - e^{x} - 2 > 0.

  1. x > ln 2 Correct answer.
  2. x < ln 2
  3. x > 0
  4. x > 1

Explanation

On pose X = e^x > 0 ; l'inéquation devient X^2 - X - 2 > 0, soit (X-2)(X+1) > 0. Comme X + 1 > 0, cela équivaut à X > 2, c'est-à-dire e^x > 2, donc x > ln 2.

Question 49Analyse : fonctions exponentielles et logarithmes

La fonction f(x) = x - ln x admet sur ]0 ; +∞[ un minimum. Quelle est sa valeur ?

  1. 0
  2. ln 2
  3. 1 Correct answer.
  4. e

Explanation

f'(x) = 1 - 1/x s'annule en x = 1, est négative sur ]0 ; 1[ et positive sur ]1 ; +∞[. Le minimum vaut donc f(1) = 1 - ln 1 = 1.

Question 50Analyse : fonctions exponentielles et logarithmes

Quelle est la limite en 0 par valeurs supérieures de f(x) = x ln x ?

  1. 0 Correct answer.
  2. 1
  3. -∞
  4. +∞

Explanation

On écrit x ln x = -x ln(1/x) et on pose t = 1/x, qui tend vers +∞. L'expression devient -(ln t)/t, dont la limite est 0 car ln t croît plus lentement que t.