Limites, continuité et dérivabilité
Le domaine « limites, continuité et dérivabilité » ouvre l'analyse du Bac algérien et conditionne tout le reste : l'étude d'une fonction exponentielle ou logarithmique, comme un problème d'intégration, commence toujours par un calcul de limites et un tableau de variation justifié. L'épreuve y évalue trois savoir-faire : lever une indétermination, établir une continuité (souvent en un point où l'expression change), et exploiter dérivée, monotonie et théorème des valeurs intermédiaires.
Limites
Sur une forme 0/0, on factorise par x − a après avoir repéré la racine commune, ou on multiplie par la quantité conjuguée si des racines carrées apparaissent. À l'infini, on met le terme de plus haut degré en facteur au numérateur et au dénominateur. Pour une forme ∞ − ∞ avec radicaux, le conjugué est l'outil standard ; pour une fonction encadrée, on applique le théorème des gendarmes.
Continuité et TVI
f est continue en a lorsque lim f(x) = f(a) quand x tend vers a. Sur un segment [a ; b], si f est continue et si f(a) et f(b) sont de signes contraires, l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution ; si f est de plus strictement monotone, cette solution est unique. C'est le corollaire du TVI, presque toujours demandé avec un encadrement de la solution par balayage.
Dérivabilité
Le nombre dérivé est la limite du taux d'accroissement. Dérivable implique continu, la réciproque est fausse (valeur absolue en 0). La tangente en a pour équation y = f′(a)(x − a) + f(a). Le signe de f′ donne les variations, et un changement de signe de f′ donne un extremum local. À maîtriser : (u^n)′ = n u^(n−1) u′, (√u)′ = u′/(2√u), (u/v)′ = (u′v − uv′)/v².
Exemple rédigé
Soit f(x) = (x² − 3x + 2)/(x − 1). En 1, numérateur et dénominateur s'annulent : f(x) = (x − 1)(x − 2)/(x − 1) = x − 2 pour x ≠ 1, donc lim f(x) = −1 en 1 ; en posant f(1) = −1, on prolonge f par continuité. Soit g(x) = x³ + x − 1 sur [0 ; 1] : g(0) = −1, g(1) = 1 et g′(x) = 3x² + 1 > 0, donc le corollaire du TVI donne une unique racine α dans ]0 ; 1[.
Pièges qui coûtent des points
- Confondre continuité et dérivabilité.
- Invoquer le TVI sans vérifier la continuité sur le fermé, ou l'unicité sans la stricte monotonie.
- Simplifier par (x − 1) sans préciser x ≠ 1.
- Croire que f′(a) = 0 suffit pour un extremum, sans étudier le signe.
- Calculer une limite sans avoir posé le domaine de définition.