Fonctions exponentielles et logarithmes
Le couple logarithme népérien / exponentielle est le cœur de l'analyse du Bac algérien : les deux fonctions sont réciproques l'une de l'autre, et l'épreuve demande d'utiliser leurs propriétés algébriques, leurs limites et leurs dérivées, puis d'étudier des fonctions qui les combinent.
Propriétés de ln
ln est défini sur ]0 ; +∞[, avec ln 1 = 0 et ln e = 1. Pour a, b > 0 : ln(ab) = ln a + ln b ; ln(a/b) = ln a − ln b ; ln(a^n) = n ln a ; ln(1/a) = −ln a ; ln(√a) = ½ ln a. La dérivée de ln x est 1/x et une primitive de 1/x sur un intervalle ne contenant pas 0 est ln|x|. Limites : ln x tend vers −∞ en 0+ et vers +∞ en +∞ ; ln x / x tend vers 0 et x ln x tend vers 0 en 0+.
Propriétés de exp
e^(x+y) = e^x · e^y, e^(−x) = 1/e^x, e^x > 0 pour tout réel. (e^x)′ = e^x et (e^u)′ = u′ e^u. Limites : e^x tend vers 0 en −∞, vers +∞ en +∞ ; e^x / x tend vers +∞ et x e^(−x) tend vers 0 en +∞. On a ln(e^x) = x et e^(ln a) = a pour a > 0 ; enfin a^x = e^(x ln a) et le logarithme décimal vaut log x = ln x / ln 10.
Équations et inéquations
On détermine d'abord le domaine. ln A = ln B équivaut à A = B avec A, B > 0 ; comme ln est strictement croissante, ln A < ln B équivaut à 0 < A < B. De même e^A = e^B équivaut à A = B, et e^A < e^B à A < B.
Exemple rédigé
Résoudre ln(x − 1) + ln(x + 3) = ln 5. Le domaine impose x > 1. En regroupant, (x − 1)(x + 3) = 5, soit x² + 2x − 8 = 0, de racines 2 et −4. La racine −4 est rejetée car hors du domaine : S = {2}.
Pièges qui coûtent des points
- Écrire ln(a + b) = ln a + ln b : c'est faux, la formule ne vaut que pour un produit.
- Oublier le domaine de définition avant de résoudre.
- Écrire ln(x²) = 2 ln x au lieu de 2 ln|x|.
- Utiliser e^(ln a) = a sans vérifier a > 0.
- Dériver ln(u) sans contrôler u > 0.