Suites numériques
Le domaine des suites numériques combine calcul algébrique et raisonnement : suites arithmétiques et géométriques, monotonie, convergence, et surtout suites définies par récurrence u(n+1) = f(u(n)), un classique de l'épreuve algérienne.
Suites arithmétiques et géométriques
Une suite arithmétique de raison r vérifie u(n) = u(0) + n r et la somme des n+1 premiers termes vaut (n+1)(u(0) + u(n))/2. Une suite géométrique de raison q ≠ 0 vérifie u(n) = u(0) q^n ; si q ≠ 1, la somme vaut u(0)(1 − q^(n+1))/(1 − q). Le comportement de q^n est décisif : limite 0 si |q| < 1, 1 si q = 1, divergence si |q| > 1, absence de limite si q = −1.
Monotonie et convergence
On étudie le signe de u(n+1) − u(n), ou le quotient u(n+1)/u(n) lorsque les termes sont strictement positifs. Une suite croissante et majorée converge ; une suite décroissante et minorée converge. Le théorème des gendarmes s'applique aux suites encadrées.
Suites récurrentes u(n+1) = f(u(n))
La méthode type : montrer par récurrence que tous les termes restent dans un intervalle stable par f ; étudier le signe de f(x) − x pour la monotonie ; déterminer les points fixes par f(l) = l ; si f est continue et si la suite converge vers l, alors l = f(l). Quand f est affine, la suite auxiliaire v(n) = u(n) − l est géométrique.
Exemple rédigé
u(0) = 1 et u(n+1) = (u(n) + 3)/2. Le point fixe vérifie l = (l + 3)/2, donc l = 3. On pose v(n) = u(n) − 3 : v(n+1) = u(n+1) − 3 = (u(n) − 3)/2 = v(n)/2. v est géométrique de raison 1/2 et v(0) = −2, donc v(n) = −2(1/2)^n et u(n) = 3 − 2(1/2)^n. Comme (1/2)^n tend vers 0, u(n) tend vers 3.
Pièges qui coûtent des points
- Appliquer la formule de somme géométrique sans exclure q = 1.
- Conclure à la convergence sans avoir établi monotonie et majoration.
- Oublier l'initialisation ou réutiliser l'hérédité au rang n sans hypothèse de récurrence.
- Confondre « majorée » et « convergente ».
- Négliger l'alternance des signes quand q < 0.