Calcul intégral et primitives
Le calcul intégral clôt l'analyse : après avoir étudié une fonction, on en calcule l'intégrale, une aire ou une valeur moyenne. L'épreuve teste la maîtrise des primitives usuelles, la linéarité, la relation de Chasles et l'intégration par parties.
Primitives
F est une primitive de f sur I si F′ = f sur I. Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante : il faut donc toujours préciser l'intervalle. À connaître : x^n (n ≠ −1) donne x^(n+1)/(n+1) ; 1/x donne ln|x| ; e^x donne e^x ; u′ u^n donne u^(n+1)/(n+1) ; u′/u donne ln|u| ; u′ e^u donne e^u ; u′/(2√u) donne √u.
Intégrale d'une fonction continue
Si F est une primitive de f, l'intégrale de a à b vaut F(b) − F(a). L'intégrale est linéaire, additive par la relation de Chasles, nulle si les bornes sont égales, positive si f ≥ 0 et a ≤ b, et conservée par l'ordre. Elle mesure l'aire sous la courbe en unités d'aire ; la valeur moyenne sur [a ; b] vaut (1/(b − a)) fois l'intégrale.
Intégration par parties
La formule s'écrit : intégrale de u′v = [uv] − intégrale de uv′. On choisit u′ facile à primitiver et v dont la dérivée simplifie le produit ; elle est indiquée pour un polynôme multiplié par e^x ou ln x.
Exemple rédigé
Calculer l'intégrale de 0 à 1 de x e^x dx. On pose u′(x) = e^x et v(x) = x, donc u(x) = e^x et v′(x) = 1. Alors l'intégrale vaut [x e^x] de 0 à 1 moins l'intégrale de 0 à 1 de e^x dx, soit e − (e − 1) = 1. Le résultat, positif, est cohérent avec x e^x ≥ 0 sur [0 ; 1].
Pièges qui coûtent des points
- Oublier la constante dans une primitive ou oublier le dx.
- Se tromper de signe dans l'intégration par parties : le produit uv est retranché de l'intégrale.
- Primitiver 1/x en ln x sur un intervalle contenant 0.
- Inverser les bornes sans changer le signe.
- Oublier que l'unité d'aire dépend du repère (elle vaut i × j).